[논문 리뷰] Algebraic localization implies exponential localization in non-periodic insulators

Jianfeng Lu, Kevin D. Stubbs|arXiv (Cornell University)|2021. 01. 07.

Spectral Theory in Mathematical Physics참고 문헌 19인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 이중 차원 비정현적 절연체에서, 파 Fermi 프로젝션에 대한 정규직교 기저가 $|\mathbf{x}|^{5+\epsilon}$ 순서로 대수적 감쇠를 가질 경우, 지수적 감쇠를 갖는 기저가 존재함을 입증한다. 저자들은 Fermi 프로젝션에 따라 의존하는 자기수반 위치 연산자 $\widehat{X}$를 구성하여, 충분한 적분 가능성 조건을 만족하는 대수적 국소화가 지수적 국소화를 암시함을 증명함으로써, 위상적 불변량에 의존하지 않는 비정현적 시스템에 대한 국소화 이분법 추측을 지지한다.

ABSTRACT

Exponentially-localized Wannier functions are a basis of the Fermi projection of a Hamiltonian consisting of functions which decay exponentially fast in space. In two and three spatial dimensions, it is well understood for periodic insulators that exponentially-localized Wannier functions exist if and only if there exists an orthonormal basis for the Fermi projection with finite second moment (i.e. all basis elements satisfy $\int |\boldsymbol{x}|^2 |w(\boldsymbol{x})|^2 \, ext{d}{\boldsymbol{x}} < \infty$). In this work, we establish a similar result for non-periodic insulators in two spatial dimensions. In particular, we prove that if there exists an orthonormal basis for the Fermi projection which satisfies $\int |\boldsymbol{x}|^{5 + ε} |w(\boldsymbol{x})|^2 \, ext{d}{\boldsymbol{x}} < \infty$ for some $ε> 0$ then there also exists an orthonormal basis for the Fermi projection which decays exponentially fast in space. This result lends support to the Localization Dichotomy Conjecture for non-periodic systems recently proposed by Marcelli, Monaco, Moscolari, and Panati

연구 동기 및 목표

• 비정현적 절연체에서 대수적 국소화와 지수적 국소화 간의 관계를 위상적 불변량과 무관하게 수립하기 위해.
• 위상적 불변량이나 결정 대칭성을 도입하지 않고도 국소화 이분법 추측을 비정현적 시스템에 대해 지지하기 위해.
• 비정현적 설정에서 Fermi 프로젝션의 공간적 국소화를 반영할 수 있는 자기수반 위치 연산자를 구성하기 위해.
• 대칭성과 위상적 가정을 제거하여 정현적 시스템을 초월한 국소화-위상학적 상관관계를 확장하기 위해.
• 불순물이나 비정현적 물질에서 워너-함수의 국소화를 위한 엄밀한 함수해석학적 프레임워크를 제공하기 위해.

제안 방법

• 표준 위치 연산자를 근사하는 지역적 작용을 갖는 자기수반 위치 연산자 $\widehat{X}$를 구성하며, 이는 Fermi 프로젝션 $P$ 에 따라 의존한다.
• 연산자 $\widehat{X}$ 의 스펙트럼 성질을 이용하여 $P$ 의 범위에 속하는 상태의 국소화를 리졸베이트 추정과 숄의 정리로 분석한다.
• 요우의 콘볼루션 부등식을 적용하여 격자 인덱스에 대한 합을 유계로 묶어, $\chi_{\mathbf{k}}(X - m_1)\psi_{\mathbf{m}}^{(j)}$ 의 행렬 원소에 대한 감쇠 추정을 확보한다.
• 무게 함수 $|\mathbf{x}|^{5+\epsilon}$ 를 사용한 가중 $L^2$ 노름을 도입하여 대수적 감쇠를 정량화하고, 구성된 연산자를 통해 지수적 감쇠와 연결한다.
• 레마 A.2 를 사용하여 가중 연산자가 기저 상태에 작용했을 때의 $L^2$-노름을 유계로 묶어, $s > 5/2$ 조건 하에서 유한성을 확보한다.
• Schur의 정리와 양의 콘볼루션 추정을 반복 적용하여 $m_1$ 및 $m_2$ 방향에서 행렬 원소에 대한 균일한 유계를 확립한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비정현적 2D 절연체에서 $|\mathbf{x}|^{5+\epsilon}$ 의 $L^2$-적분 가능성 조건을 만족하는 대수적 국소화가 지수적 국소화를 암시하는가?
• RQ2 위상적 불변량이나 결정 대칭성을 도입하지 않고도 국소화 이분법 추측을 지지할 수 있는가?
• RQ3 비정현적 시스템에서 Fermi 프로젝션의 공간적 국소화를 반영할 수 있는 자기수반 연산자를 구성할 수 있는가?
• RQ4 지수적 국소화를 보장하는 워너-함수에 대한 최소 감쇠 조건은 무엇인가?
• RQ5 Schur의 정리와 요우의 부등식과 같은 기능해석학적 기법을 어떻게 비정현적 시스템에서 국소화 등가성을 증명하는 데 활용할 수 있는가?

주요 결과

• 어떤 $\epsilon > 0$ 에 대해 $\int |\mathbf{x}|^{5+\epsilon} |w(\mathbf{x})|^2 d\mathbf{x} < \infty$ 를 만족하는 Fermi 프로젝션에 대한 정규직교 기저가 존재할 경우, 지수적 감쇠를 갖는 기저가 존재한다.
• 지수적 국소화는 어떤 $\gamma^* > 0$ 에 대해 $e^{2\gamma^*|\mathbf{x}|}$ 의 감쇠율을 갖는다. 이는 기저 전반에 걸쳐 균일하게 성립한다.
• 자기수반이고 지역적으로 정의된 연산자 $\widehat{X}$ 의 구성은 주기성이나 대칭성을 가정하지 않은 증명을 가능하게 한다.
• 증명은 Schur의 정리와 요우의 콘볼루션 부등식을 통해 행렬 원소를 유계로 묶는 데 의존하며, $L^2$-노름은 레마 A.2 를 통해 유계로 확보된다.
• 기저 상태가 $s > 5/2$ 조건을 만족하는 유한한 $s$-차수 모멘트를 갖는 조건 하에서 결과는 성립하며, 이는 추정에 충분한 감쇠를 보장한다.
• 핵심 기술적 단계는 $\sum_{\mathbf{m}'} \sum_{\mathbf{k}} \frac{|m_1 - k_1|}{|\lambda - m_1'|} \frac{\|\chi_{\mathbf{k}}(X - m_1)\psi_{\mathbf{m}}^{(j)}\|}{\langle m_1' - k_1\rangle^{1/2+\epsilon}\langle m_2' - k_2\rangle^{1+\epsilon}}$ 합이 균일하게 유계임을 보이는 것으로, 이는 지수적 국소화를 암시한다.