[논문 리뷰] Algebraic models of homotopy types and the homotopy hypothesis

Simon Henry|arXiv (Cornell University)|2016. 09. 15.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 15인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 약한 ∞-군oids의 대수적 구조인 실린더 공조기(cylinder coherators)를 소개한다. 이는 위상공간의 고전적 모델 범주와 퀼렌 동치인 조합적 반모델 범주를 생성하며, 호모토피 가설을 새로운 프레임워크로 정립한다. 특히, 내부 타입 이론에 기반한 공조기의 존재를 통해, 공간과 동치인 호모토피 유형의 대수적 모델을 제공한다.

ABSTRACT

We introduce and study a notion of cylinder coherator similar to the notion of Grothendieck coherator which define more flexible notion of weak infinity groupoids. We show that each such cylinder coherator produces a combinatorial semi-model category of weak infinity groupoids, whose objects are all fibrant and which is in a precise sense "freely generated by an object". We show that all those semi model categories are Quillen equivalent together and Quillen to the model category of spaces. A general procedure is given to produce such coherator, and several explicit examples are presented: one which is simplicial in nature and allows the comparison to the model category for spaces. A second example can be describe as the category of globular sets endowed with "all the operations that can be defined within a weak type theory". This second notion seem to provide a definition of weak infinity groupoids which can be defined internally within type theory and which is classically equivalent to homotopy types. Finally, the category of Grothendieck infinity groupoids for a fixed Grothendieck coherator would be an example of this formalism under a seemingly simple conjecture whose validity is shown to imply Grothendieck homotopy hypothesis. This conjecture seem to sum up what needs to be proved at a technical level to ensure that the theory of Grothendieck weak infinity groupoid is well behaved.

연구 동기 및 목표

• 실린더 공조기를 사용하여 약한 ∞-군oids에 대한 민감한 대수적 프레임워크를 개발하기 위해.
• 모든 실린더 공조기가 위상공간의 범주와 퀼렌 동치인 반모델 범주를 생성함을 증명하기 위해.
• 약한 ∞-군oids의 개념이 내부 타입 이론 내에서 정의 가능함을 보여주기 위해.
• 타입 이론적 구성과 고전적 호모토피 이론을 연결하여 호모토피 가설의 새로운 증명을 제공하기 위해.

제안 방법

• 그로텐디크 공조기의 일반화로 실린더 공조기를 도입하여, 약한 ∞-군oids를 자유롭게 생성하는 대수적 구조를 정의한다.
• 각 실린더 공조기마다 모든 대상이 피브레이션인 조합적 반모델 범주를 구성한다.
• 예-실린더 범주에서의 약한 모델 구조를 사용하여 경로 대상과 피브레이션과 같은 호모토피 이론적 연산을 정의한다.
• 타입 이론의 문법적 범주(T∗_w.i.e.)에 완성 절차를 적용하여 약한 ∞-군oids의 대수적 모델을 얻는다.
• 타입 이론의 문법적 범주에서 유도된 사상들이 약한 동치를 보존함을 보여, 호모토피 이론과의 호환성을 확보한다.
• T∗_w.i.e.의 문법적 범주의 반대 범주가 실린더 공조기임을 증명하여, 타입 이론 내에서 약한 ∞-군oids를 내부적으로 정의할 수 있음을 보장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 실린더 공조기를 사용하여 공간과 퀼렌 동치인 반모델 범주를 구성할 수 있는가?
• RQ2 내부적으로 정의 가능하고 고전적으로 호모토피 유형과 동치인 타입 이론적 구성이 약한 ∞-군oids를 제공하는가?
• RQ3 항등성 타입을 포함한 타입 이론 T∗_w.i.e.의 문법적 범주는 유효한 실린더 공조기를 생성하는가?
• RQ4 약한 ∞-군oids의 순수 대수적·타입 이론적 구성으로 호모토피 가설을 증명할 수 있는가?
• RQ5 어떤 조건이 실린더 공조기가 잘 정의된 호모토피 유형의 모델을 생성하도록 보장하는가?

주요 결과

• 각 실린더 공조기는 모든 대상이 피브레이션인 조합적 반모델 범주를 생성한다.
• 모든 이러한 반모델 범주는 위상공간의 표준 모델 범주와 퀼렌 동치이다.
• T∗_w.i.e. 타입 이론의 문법적 범주는 완성된 범주가 타입 이론적 구성으로 정의된 연산을 갖는 글로부라 집합의 범주가 된다.
• C(T∗_w.i.e.)^op의 완성은 내부적으로 정의 가능한 모든 연산(경로 대상, 호모토피 포함)을 갖는 글로부라 집합의 범주이다.
• T∗_w.i.e.를 통한 약한 ∞-군oids의 구성은 타입 이론 내에서 내부적으로 정의 가능하며, 브루네리의 접근을 일반화한다.
• 논문은 그로텐디크의 호모토피 가설이 T∗_w.i.e.의 문법적 범주의 행동에 관한 단일 기술적 추측에 의해 도출됨을 보여주며, 이 추측이 참이라면 모델이 잘 정의되고 공간과 동치가 됨을 보장한다.