[논문 리뷰] Algebraic Multigrid Methods

Jinchao Xu, Ludmil Zikatanov|arXiv (Cornell University)|2016. 11. 07.

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics참고 문헌 100인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 스무딩 행렬과 시스템 행렬과 관련된 행렬의 추적 최소화를 통해 최적의 거친 공간을 유도하여 대수적 다중격자(AMG) 방법에 대한 통합 이론적 프레임워크를 제시한다. 약간의 가정 하에 이중레벨 AMG의 균일 수렴성을 증명하고, 대부분의 기존 AMG 방법이 이 최적의 거친 공간을 근사하고 있음을 보여, 고전적, 집합 기반, 에너지 최소화 기반 AMG 접근법을 하나의 추상적 다중격자 이론 내에서 통합한다.

ABSTRACT

This paper is to give an overview of AMG methods for solving large scale systems of equations such as those from the discretization of partial differential equations. AMG is often understood as the acronym of "Algebraic Multi-Grid", but it can also be understood as "Abstract Muti-Grid". Indeed, as it demonstrates in this paper, how and why an algebraic multigrid method can be better understood in a more abstract level. In the literature, there are a variety of different algebraic multigrid methods that have been developed from different perspectives. In this paper, we try to develop a unified framework and theory that can be used to derive and analyze different algebraic multigrid methods in a coherent manner. Given a smoother $R$ for a matrix $A$, such as Gauss-Seidel or Jacobi, we prove that the optimal coarse space of dimension $n_c$ is the span of the eigen-vectors corresponding to the first $n_c$ eigenvalues of $\bar RA$ (with $\bar R=R+R^T-R^TAR$). We also prove that this optimal coarse space can be obtained by a constrained trace-minimization problem for a matrix associated with $\bar RA$ and demonstrate that coarse spaces of most of existing AMG methods can be viewed some approximate solution of this trace-minimization problem. Furthermore, we provide a general approach to the construction of a quasi-optimal coarse space and we prove that under appropriate assumptions the resulting two-level AMG method for the underlying linear system converges uniformly with respect to the size of the problem, the coefficient variation, and the anisotropy. Our theory applies to most existing multigrid methods, including the standard geometric multigrid method, the classic AMG, energy-minimization AMG, unsmoothed and smoothed aggregation AMG, and spectral AMGe.

연구 동기 및 목표

• 다양한 대수적 다중격자 방법을 하나의 추상적 다중격자 이론 아래 통합하는 일관된 이론적 프레임워크를 개발하기 위해.
• 주어진 스무딩 방법에 대한 최적의 거친 공간을 행렬 $ar{R}A$의 가장 작은 고유값에 해당하는 고유벡터들의 스칼라 결합으로 정의하기 위해.
• 대부분의 기존 AMG 방법이 최적의 거친 공간을 정의하는 제약 조건이 있는 추적 최소화 문제의 근사해임을 보여주기 위해.
• 적절한 가정 하에 문제 크기, 계수 변화, 이방성에 관계없이 이중레벨 AMG의 균일 수렴성을 확립하기 위해.
• PDE 이산화에서 유도되는 광범위한 선형 시스템 클래스에 적용 가능한 준최적의 거친 공간을 구성하는 일반적인 방법을 제공하기 위해.

제안 방법

• 스무딩 행렬 $R$가 가우스-세이델 또는 재크비와 같은 행렬일 때, $ar{R}A$의 첫 $n_c$ 개 고유벡터들의 스칼라 결합으로 최적의 거친 공간을 유도한다. 여기서 $ar{R} = R + R^T - R^T A R$이다.
• 최적의 거친 공간을 행렬 $ar{R}A$를 포함하는 제약 조건이 있는 추적 최소화 문제의 해로 공식화한다.
• 고전적 AMG, 스무딩 집합 기반 AMG, 에너지 최소화 기반 AMG가 모두 이 추적 최소화 문제의 근사해로 해석될 수 있음을 보여준다.
• 추적 최소화 프레임워크에 기반한 준최적의 거친 공간을 구성하는 일반적인 방법을 제안한다.
• 스무딩 행렬과 거친 공간의 품질에 대한 가정 하에 이중레벨 AMG의 수렴 이론을 확립하여, 문제 크기와 계수 변화에 관계없이 균일 수렴성을 증명한다.
• 추상적 프레임워크를 적용하여 기하 다중격자, 고전적 AMG, 스무딩 집합 기반 AMG, 스펙트럼 AMGe를 통합하고 이론적으로 분석함으로써 이들의 이론적 연결 고리를 밝혀낸다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 주어진 스무딩 방법에 대해 대수적 다중격자 방법에서 최적의 거친 공간은 무엇인가?
• RQ2 최적의 거친 공간는 수학적으로 어떻게 특성화할 수 있으며, 시스템 행렬과 스무딩 방법과의 관계는 무엇인가?
• RQ3 정확한 최적의 거친 공간을 사용하지 않음에도 불구하고 많은 기존 AMG 방법이 잘 작동하는 이유는 무엇인가?
• RQ4 다양한 AMG 방법을 분석하고 비교하기 위해 통합된 이론적 프레임워크를 개발할 수 있는가?
• RQ5 이중레벨 AMG 방법이 문제 크기와 계수 변화에 관계없이 균일하게 수렴하기 위한 조건은 무엇인가?

주요 결과

• 차원 $n_c$를 갖는 최적의 거친 공간은 $ar{R}A$의 $n_c$ 개의 가장 작은 고유값에 해당하는 고유벡터들의 스칼라 결합으로 이루어진다. 여기서 $ar{R} = R + R^T - R^T A R$이다.
• 이 최적의 거친 공간는 행렬 $ar{R}A$를 포함하는 제약 조건이 있는 추적 최소화 문제의 해와 동치이다.
• 고전적 AMG, 스무딩 집합 기반 AMG, 에너지 최소화 기반 AMG를 포함한 대부분의 기존 AMG 방법은 이 추적 최소화 문제의 근사해로 해석될 수 있다.
• 적절한 가정 하에 균일 수렴을 보장하는 준최적의 거친 공간을 구성하는 일반적인 방법이 제안되었다.
• 준최적의 거친 공간을 사용하여 구성된 이중레벨 AMG 방법은 문제 크기, 계수 변화, 이방성에 관계없이 균일하게 수렴한다.
• 추상적 다중격자 프레임워크는 기하 다중격자, 고전적 AMG, 스무딩 집합 기반 AMG, 스펙트럼 AMGe를 통합하고 이론적 기반을 제공한다.