[논문 리뷰] Algebraic points on Shimura curves of $\Gamma_0(p)$-type (III)

Keisuke Arai, Fumiyuki Momose|arXiv (Cornell University)|2012. 05. 16.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 8인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 충분히 큰 소수 p에 대해, 일부 수체 위의 Γ₀(p)-형 Shimura 곡선에 유리점이 존재하지 않음을, 허수 정수환의 힐베르트 클래스체가 존재하지 않으며, 퀼터니언 대수에서 국소적으로 분해되지 않는 조건이 만족될 경우에 증명한다. 주요 기여는 기존의 모듈러 곡선에 대한 비존재 결과를 Shimura 곡선 설정으로 일반화한 것으로, 명시적인 예가 제시된다.

ABSTRACT

In previous articles, we classified the characters associated to algebraic points on Shimura curves of $\\Gamma_0(p)$-type, and over number fields in a certain large class we showed that there are at most elliptic points on such a Shimura curve for every sufficiently large prime number $p$. In this article, we prove the non-existence of elliptic points on Shimura curves of $\\Gamma_0(p)$-type under a mild assumption. We also give an explicit example.

연구 동기 및 목표

• 모듈러 곡선에 대한 유리점의 비존재 결과를 Γ₀(p)-형 Shimura 곡선으로 확장한다.
• 이러한 Shimura 곡선 위에 타원점이 존재할 수 있는지 여부라는 열린 문제를 해결한다.
• 큰 소수 p와 수체 k에 대해 M₀ᴮ(p)(k) = ∅가 되는 조건을 설정한다.
• 주어진 조건 하에서 유리점이 없는 곡선의 명시적 예를 제공한다.
• 쿼터니언 대수와 갈루아 표현이 이러한 곡선 위의 유리점 존재를 저지하는 데 수행하는 역할을 명확히 한다.

제안 방법

• QM-아벨 곡면에 관련된 갈루아 표현을 사용하여 p- torsion 점들 위의 작용을 분석한다.
• mod p 순환 특성과 특성 분해를 적용하여 갈루아 이미지의 구조를 연구한다.
• B⊗ℚ(√−q) ≇ M₂(ℚ(√−q))인 비분해 조건을 활용하여 유리점이 존재하지 않음을 배제한다.
• 홀수 차수의 소수에서의 국소적 행동과 비분해 잔여 특성 조건을 분석하여 전역적 저항 조건을 도출한다.
• 체 이론과 힐베르트 클래스체 저항 조건을 사용하여 유리점의 존재를 배제한다.
• 특정 케이스(d=6, d=22)에서의 명시적 계산을 통해 조건을 검증하고 정리의 내용을 설명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 큰 소수 p에 대해 어떤 조건에서 수체 k 위의 Γ₀(p)-형 Shimura 곡선에 유리점이 존재하지 않는가?
• RQ2 기저 체가 허수 정수환의 힐베르트 클래스체를 포함하지 않을 경우, M₀ᴮ(p) 위에 타원점이 존재할 수 있는가?
• RQ3 쿼터니언 대수 B⊗ℚ(√−q)의 비분해 조건이 M₀ᴮ(p) 위의 유리점 존재를 어떻게 저지하는가?
• RQ4 갈루아 표현 ρ̄A,p는 이러한 곡선 위의 유리점 존재 여부를 결정하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 주어진 가정 하에서 이러한 곡선에 대해 유리점이 없는 명시적 예를 구성할 수 있는가?

주요 결과

• 모든 허수 정수환의 힐베르트 클래스체를 포함하지 않으며, 약간의 국소 조건을 만족하는 유한 갈루아 확대 k/ℚ에 대해, 충분히 큰 모든 소수 p에 대해 M₀ᴮ(p)(k) = ∅이다.
• k 내의 홀수 차수 소수 q에서 B⊗ℚ(√−q) ≇ M₂(ℚ(√−q))인 비분해 조건은 큰 p에 대해 M₀ᴮ(p)(k)에 유리점이 존재하지 않음을 보장하는 데 충분하다.
• d=6 및 d=22에 대해 명시적 예가 구성되었으며, 이 경우 정리의 조건이 검증되고 p > 128일 때 M₀ᴮ(p)(k) = ∅가 성립한다.
• d=6 또는 d=22일 때 Mᴮ는 k 위에 무한히 많은 유리점을 가지지만, M₀ᴮ(p)는 큰 p에 대해 k 위에 유리점을 가지지 않는다.
• 비분해 조건을 만족하는 홀수 차수 소수의 최소 노름은 32이며, 이는 정리가 적용 가능한 p의 범위를 제한한다.