[논문 리뷰] Algebraic Presentations of Dependent Type Theories

Valery Isaev|arXiv (Cornell University)|2016. 02. 26.

Logic, programming, and type systems참고 문헌 7인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 대수적 종속 유형 이론을 기본적으로 대수적 이론으로서 제안하며, 이러한 이론들의 범주를 통해 구성 가능하고 구조적인 방식으로 유형 이론을 정의할 수 있도록 한다. 이 이론들의 모델이 추가 구조를 지닌 문맥적 범주와 대응됨을 확립하고, 유니버스와 동일성 유형과 같은 구성 요소들이 범주적 코통합과 함자를 통해 체계적으로 통합되고 분석될 수 있음을 보여준다.

ABSTRACT

In this paper, we propose an abstract definition of dependent type theories as essentially algebraic theories. One of the main advantages of this definition is its composability: simple theories can be combined into more complex ones, and different properties of the resulting theory may be deduced from properties of the basic ones. We define a category of algebraic dependent type theories which allows us not only to combine theories but also to consider equivalences between them. We also study models of such theories and show that one can think of them as contextual categories with additional structure.

연구 동기 및 목표

• 기존의 변형들을 포함하고 구성 가능성을 보장하는 일반적이고 추상적인 종속 유형 이론의 정의를 제공하는 것.
• 기존의 유형 이론 정의에서 Π, Σ, Id 유형과 같은 구성 요소들이 독립적으로 조합되지 않는 문제를 해결하는 것.
• 응용에서 생략된 인자나 유형이 있는 등급과 없는 등급의 등호와 같은 문법적 모호성을 핵심적인 구조적 성질과 분리함으로써 제거하는 것.
• 범주적 동형과 모리타 동치를 이용해 유형 이론 간의 동치를 형식화하여, 이론 간에 성질을 이행할 수 있도록 하는 것.
• 주어진 이론의 모든 연산을 포함하는 유니버스 계층을 만드는 함자 U를 정의하여, U^ω(𝕋)를 극한 구성으로서 도출하는 것.

제안 방법

• 부분 호른 이론의 범주를 정의하여, 연산과 추론 규칙을 가진 유형 이론의 문법을 형식화하는 것.
• 이 이론들의 모델을 추가 구조를 지닌 문맥적 범주로 표현하며, 초기 이론의 모델이 정확히 문맥적 범주임을 보여주는 것.
• 대수적 종속 유형 이론을 사전 안정성과 안정성 이론으로서 정의하며, 치환과 연산이 교환됨을 보장함으로써 슬라이스 구성이 가능하도록 하는 것.
• 대수적 종속 유형 이론의 범주에 대해 모든 함수 기호를 포함하는 유니버스를 추가하는 함자 U를 구성하는 것.
• 𝕋를 확장하여 새로운 기호 U(유니버스), El(소속성), σ^U(유니버스 닫힘 연산)를 추가하고, 타입 체계와 행동이 올바르게 유지되도록 공리를 설정하는 것.
• 코통합을 사용하여 시퀀스 𝕋 → U(𝕋) → U²(𝕋) → ... 의 극한으로서 U^ω(𝕋)를 정의함으로써, 원래 이론의 모든 연산을 포함하는 누적 유니버스 계층을 지닌 이론을 도출하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 Π, Σ, Id 유형과 같은 기본 구성 요소들을 더 복잡한 이론으로 조합할 수 있는 일반적이고 구성 가능한 프레임워크를 개발할 수 있는가?
• RQ2 응용에서 생략된 인자나 유형이 있는 등급과 없는 등급의 등호와 같은 문법적 변형들을 핵심적인 유형 이론적 성질을 유지하면서 추상화할 수 있는가?
• RQ3 예를 들어 프로젝션과 대체자에 의한 Σ 유형 정의와 같은 동일한 유형 생성자에 대한 다양한 정의들이 체계적이고 범주론적으로 동치인가?
• RQ4 대수적 종속 유형 이론의 모델은 체계적으로 특징지을 수 있으며, 이들은 자연스럽게 추가 구조를 지닌 문맥적 범주와 대응되는가?
• RQ5 유니버스는 유형 이론에서 어떤 역할을 하는가? 그리고 모든 연산을 포함하는 유니버스 계층을 균일하고 범주론적인 방식으로 어떻게 구성할 수 있는가?

주요 결과

• 대수적 종속 유형 이론의 범주는 코통합을 지원하여, 예를 들어 Σ, Π, Id 유형을 포함하는 이론의 경우 T_Σ ⊔ T_Π ⊔ T_Id 와 같이 더 복잡한 이론을 더 단순한 이론들의 코프로덕트로 구성할 수 있다.
• 초기 대수적 종속 유형 이론의 모델은 정확히 문맥적 범주이며, 이는 대수적 문법과 범주론적 의미론 사이의 기초적인 연결 고리를 확립한다.
• 어떤 대수적 종속 유형 이론의 모델은 이론의 연산과 공리에 의해 결정되는 추가 구조를 지닌 문맥적 범주이다.
• 함자 U는 임의의 대수적 종속 유형 이론 𝕋를 모든 함수 기호를 포함하는 유니버스를 지닌 이론 U(𝕋)로 매핑하며, 타입 체계와 운영 행동을 유지한다.
• 𝕋 → U(𝕋) → U²(𝕋) → ... 의 시퀀스의 코통합으로서 정의된 U^ω(𝕋)는 원래 이론의 모든 연산을 포함하는 누적 유니버스 계층을 지닌 이론을 얻는다.
• 대수적 접근은 동형과 모리타 동치를 통한 이론 간 형식적 동치를 가능하게 하며, U(𝕋)는 𝕋를 유니버스 닫힘 이론에 포함시키는 표준적인 방법을 제공한다.