[논문 리뷰] Algebraic Relaxations and Hardness Results in Polynomial Optimization and Lyapunov Analysis

Amir Ali Ahmadi|arXiv (Cornell University)|2012. 01. 13.

Advanced Optimization Algorithms Research참고 문헌 141인용 수 30

한 줄 요약

이 논문은 다항식 최적화 및 동역계에서 볼록성과 안정성을 결정하는 계산 복잡도를 규명한다. 다항식의 볼록성, 엄밀한 볼록성, 준볼록성, 가짜볼록성 테스트는 4차 이상의 다항식에 대해 강한 NP-난이도임을 증명하며, 홀수차수의 경우는 다항시간에 결정 가능하다. 주요 기여는 볼록 다항식과 합의제곱(sos)-볼록 다항식이 언제 일치하는지를 완전히 규명한 것이다—힐베르트의 1888년 정리에 따르면, 비음수 다항식이 합의제곱임이 성립하는 경우에만 그렇다.

ABSTRACT

This thesis settles a number of questions related to computational complexity and algebraic, semidefinite programming based relaxations in optimization and control.

연구 동기 및 목표

• 다항식의 다변수 볼록성 및 관련 성질(엄밀한 볼록성, 준볼록성, 가짜볼록성)을 결정하는 계산 복잡도를 규명하는 것.
• 볼록성과 sos-볼록성 간의 관계를 특성화하는 것—합의제곱 표현을 기반으로 한 대체 해법.
• 비선형 및 불확실한 동역계의 안정성을 증명하기 위한 계산 기법을 개발하고 분석하는 것.
• 스위치 선형 시스템의 공동 스펙트럴 반경을 근사하기 위한 경로완전 그래프 리아푸노프 함수를 기반으로 한 통합 프레임워크를 도입하는 것.
• 정수형 프로그래밍을 사용한 안정성 분석을 위한 역 리아푸노프 정리와 근사 보장을 수립하는 것.

제안 방법

• 4차 이상의 다항식에 대해 볼록성 및 관련 성질을 결정하는 강한 NP-난이도를 증명하기 위해 알려진 NP-난이도 문제로의 축소.
• 합의제곱(sos) 프로그래밍을 사용한 볼록성의 세 가지 등가 대체 해법을 수립: 정의, 일阶 조건, 이阶 조건을 통한 방식.
• 대수기하학과 다항식 최적화 기법을 사용하여 볼록 다항식이지만 sos-볼록이 아닌 명시적 반례를 구성.
• 경로완전 그래프 리아푸노프 함수를 도입하여, 라벨이 붙은 방향 그래프의 경로와 리아푸노프 부등식을 연결함으로써, 정수형 프로그래밍을 통한 안정성 분석을 가능하게 함.
• 평면 또는 동차 다항벡터장의 경우, 차수를 늘릴 수 있다면 다항 리아푸노프 함수의 존재는 sos-볼록 함수의 존재를 암시함을 증명.
• 경로완전 그래프의 가족을 사용하여 공동 스펙트럴 반경의 근사 보장을 도출하며, 진짜 JSR에서 $1/\sqrt[4]{n}$의 곱계수를 포함함.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 4차 다항식의 볼록성을 결정하는 것은 계산적으로 어렵기만 한가? 만약 그렇다면 정확한 복잡도는 무엇인가?
• RQ2 어느 차원과 차수에서 볼록 다항식과 sos-볼록 다항식이 일치하는가?
• RQ3 전역적으로 점점 수렴하는 다항벡터장이 다항 리아푸노프 함수를 갖지 못할 수 있는가?
• RQ4 고정된 차수의 합의제곱 프로그래밍이 존재하는 한 유효한 리아푸노프 함수를 찾지 못할 수 있는가?
• RQ5 경로완전 그래프 리아푸노프 함수가 공동 스펙트럴 반경을 증명 가능하게 잘 근사할 수 있는가?

주요 결과

• 4차 이상의 짝수차 다항식의 볼록성, 엄밀한 볼록성, 준볼록성, 가짜볼록성 결정은 강한 NP-난이도이다.
• 홀수차 다항식의 준볼록성과 가짜볼록성 결정은 다항시간에 가능하다.
• 볼록이지만 sos-볼록이 아닌 첫 번째 알려진 다항식의 예를 구성하여, 볼록성과 sos-볼록성 사이에 엄밀한 격차가 있음을 입증한다.
• 볼록 다항식과 sos-볼록 다항식이 일치하는 것은 $n=1$ 또는 $d=2$ 또는 $(n,d)=(2,4)$일 때 뿐이며, 형태에 대해서는 $n=2$ 또는 $d=2$ 또는 $(n,d)=(3,4)$일 때 뿐—힐베르트의 1888년 비음수 다항식에 대한 특성화를 반영한다.
• 다항 리아푸노프 함수를 갖지 않는 3차 동차 벡터장이 존재하며, 이는 이러한 함수가 항상 존재하지는 않음을 보여준다.
• 평면 또는 동차 다항벡터장의 경우, 차수를 늘릴 수 있다면 다항 리아푸노프 함수의 존재는 sos-볼록 함수의 존재를 암시하며, 이는 정수형 프로그래밍을 통한 효과적인 탐색을 가능하게 한다.