[논문 리뷰] Algebraic renormalisation of regularity structures

Yvain Bruned, Martin Hairer외 1명|arXiv (Cornell University)|2016. 10. 26.

Advanced Topics in Algebra참고 문헌 41인용 수 23

한 줄 요약

이 논문은 일반화된 함수를 포함하는 비선형성을 가진 스토하스틱 PDEs를 위한 캐논리컬 재규격화 절차를 제안한다. 이는 일반화된 함수의 비선형성을 다루기 위해, 명시적이고 큰 자동형사군을 지닌 새로운 유형의 정규성 구조를 구성함으로써 이루어진다. 이론은 코이인터랙션하는 장식된 색이 있는 산림의 두 복합 대수구조와 비틀린 반대원소를 활용하여 직접적인 BPHZ 유사 재규격화를 실현한다. 이는 이전의 방법들이 모형 공간 위의 간접적이고 연속적인 군 작용에 의존한 데 비해, 이러한 제약을 극복한다.

ABSTRACT

We give a systematic description of a canonical renormalisation procedure of stochastic PDEs containing nonlinearities involving generalised functions. This theory is based on the construction of a new class of regularity structures which comes with an explicit and elegant description of a subgroup of their group of automorphisms. This subgroup is sufficiently large to be able to implement a version of the BPHZ renormalisation prescription in this context. This is in stark contrast to previous works where one considered regularity structures with a much smaller group of automorphisms, which lead to a much more indirect and convoluted construction of a renormalisation group acting on the corresponding space of admissible models by continuous transformations. Our construction is based on bialgebras of decorated coloured forests in cointeraction. More precisely, we have two Hopf algebras in cointeraction, coacting jointly on a vector space which represents the generalised functions of the theory. Two twisted antipodes play a fundamental role in the construction and provide a variant of the algebraic Birkhoff factorisation that arises naturally in perturbative quantum field theory.

연구 동기 및 목표

• 일반화된 함수를 포함하는 비선형성을 가진 스토하스틱 PDEs를 위한 체계적이고 캐논리컬한 재규격화 절차를 개발하는 것.
• 작은 자동형사군을 지닌 이전의 정규성 구조의 한계를 극복하여 간접적이고 복잡한 재규격화 구성 방식을 피하는 것.
• 직접적인 BPHZ 재규격화 절차를 실현할 수 있도록 충분히 큰 자동형사군을 지닌 새로운 정규성 구조의 클래스를 구성하는 것.
• 코이인터랙션하는 호프 대수와 비틀린 반대원소를 기반으로 한 대수적 프레임워크를 제공하여, 이 맥락에서 자연스럽게 대수적 비르크hof 분해를 실현하는 것.

제안 방법

• 이론은 일반화된 함수의 구조를 표현하는 벡터 공간에 함께 작용하는 두 개의 코이인터랙션하는 호프 대수를 사용한다.
• 새로운 정규성 구조의 자동형사군은 명시적으로 기술되었으며, BPHZ 재규격화 절차를 직접 실현하기에 충분히 크다는 게 입증되었다.
• 비틀린 반대원소는 기본 구성 요소로 도입되었으며, 이는 페르투르바티브 양자장론에서 자연스럽게 나타나는 대수적 비르크hof 분해의 변종을 제공한다.
• 이론은 비선형 항의 조합론적 구조와 그 재규격화를 코딩하는 데 사용되는 장식된 색이 있는 산림에 기반한다.
• 재규격화 절차는 모형 공간 위의 연속적 군 작용이 필요로 하지 않는 대수적 방식으로 공식화되었다.
• 이론은 복합 대수와 코이인터랙션의 사용을 통해 재규격화 과정을 체계적이고 명시적으로 다룰 수 있도록 한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 일반화된 함수를 포함하는 비선형성을 가진 스토하스틱 PDEs를 위한 캐논리컬 재규격화 절차를 어떻게 체계적으로 구성할 수 있는가?
• RQ2 어떤 정규성 구조의 구조적 성질이 BPHZ 재규격화 절차의 직접적 실현을 가능하게 하는가?
• RQ3 비틀린 반대원소와 장식된 색이 있는 산림의 코이인터랙션하는 호프 대수는 이 맥락에서 자연스러운 대수적 비르크hof 분해를 어떻게 기여하는가?
• RQ4 정규성 구조에서 더 큰 자동형사군은 이전의 접근 방식에 비해 더 명시적이고 간접적이지 않은 재규격화 과정을 가능하게 할 수 있는가?
• RQ5 복합 대수와 코이인터랙션은 스토하스틱 PDEs의 재규격화의 조합론을 어떻게 코딩하는가?

주요 결과

• 논문은 BPHZ 재규격화 절차를 직접 실현할 수 있도록 명시적으로 기술되고 충분히 큰 자동형사군을 지닌 새로운 정규성 구조의 클래스를 구성하였다.
• 장식된 색이 있는 산림의 두 코이인터랙션하는 호프 대수의 사용은 재규격화 과정을 체계적이고 대수적으로 다룰 수 있도록 하였다.
• 비틀린 반대원소는 이 맥락에서 자연스럽게 나타나는 대수적 비르크hof 분해의 변종을 실현하는 데 중심적인 역할을 하였다.
• 이론은 이전의 연구들이 간접적인 구성에 의존한 것과는 달리, 적합한 모형 공간 위의 연속적 군 작용이 필요로 하지 않도록 하였다.
• 재규격화 절차는 캐논리컬하고 완전히 대수적이라서, 복합 대수와 코이인터랙션의 상호작용에 기반하여 더 투명하고 명시적인 방법을 제공하였다.
• 이 이론은 스토하스틱 PDEs에서 일반화된 함수를 포함하는 비선형성을 재규격화하기 위한 통합적이고 우아한 프레임워크를 제공한다.