[논문 리뷰] Algebraic representations and constructible sheaves

Geordie Williamson|arXiv (Cornell University)|2016. 10. 20.

Advanced Algebra and Geometry참고 문헌 19인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 양의 특성에서 재구성 가능한 대수적 군의 모듈라 표현 이론에 기하적 접근을 제시하며, Finkelberg-Mirković 추측을 통해 표현을 구성 가능 sheaf와 연결하고, $p$-canonical 기저와 성질 sheaf를 사용하여 기울임 모듈러의 새로운 특성 공식을 도입한다. 주요 기여는 $\mathrm{GL}_n$에서 증명된 바 있는, $p$-Kazhdan-Lusztig 다항식과 기울임 특성 공식을 연결하는 추측적 프레임워크를 제공하는 것으로, Lusztig의 특성 공식에 비해 계산 가능성이 높은 대안을 제공한다.

ABSTRACT

These are notes for my Takagi lecture at the University of Tokyo in November, 2016. I survey what is known about simple modules for reductive algebraic groups. The emphasis is on characteristic p>0 and Lusztig's character formula. I explain ideas connecting representations and constructible sheaves (Finkelberg-Mirkovic conjecture) in the spirit of the Kazhdan-Lusztig conjecture. I also discuss a conjecture with S. Riche (a theorem for GL_n) which should eventually make computations more feasible.

연구 동기 및 목표

• 양의 특성에서 재구성 가능한 군의 대수적 표현과 아핀 그라스만리안 위의 구성 가능 sheaf 사이의 개념적 다리를 구축하기.
• Lusztig의 특성 공식이 어떤 소수 $p$ 에서 성립하는지에 대한 열린 문제를 해결하기 위해, 국소 정수 교차 코호몰로지 군의 토르션과 연관지어 보다.
• 교차 코호몰로지 스태크의 계산이 매우 어려운 점을 감안해, $p$-canonical 기저와 성질 sheaf를 사용하여 기울임 모듈러의 계산 가능성이 높은 특성 공식을 개발하기.
• 모듈라 표현 이론을 기하학적 랑글랜드 철학과 통합하는 프레임워크를 제공하여, 양의 특성으로의 카즈단-루스츠지 프레임워크 확장하기.

제안 방법

• Langlands 쌍대군 $G^\vee$ 의 아핀 그라스만리안 위에 계수를 특성 $p>0$ 인 체를 갖는 페르세 sheaf 와 $G$ 의 표현을 Finkelberg-Mirković 추측을 통해 연결한다.
• Koszul dual성을 적용하여 아핀 헤이크 대수의 $p$-canonical 기저와 성질 sheaf를 연결함으로써 기울임 특성의 계산을 가능하게 한다.
• 기하학적 사타케 동치를 기본 도구로 사용하여 표현을 아핀 그라스만리안 위의 $G$--equivariant sheaf로 실현한다.
• 아핀 웰 군 위의 $p$-확대된 닷 액션을 사용하여 표현 범주 내의 기본 영역과 블록을 정의한다.
• 교차 코호몰로지 복합체의 계산이 매우 어려운 점을 감안해, 성질 조건을 만족하는 sheaf(성질 sheaf)를 도입하여 양의 특성에서 교차 코호몰로지 복합체를 대체한다.
• 확장된 기본 블록 $\mathrm{Rep}_0^{\mathrm{ext}}$ 과 아핀 그라스만리안 위의 콬볼루션 구조를 활용하여 헤이크 범주와 그 표현 위의 작용을 정의한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 Lusztig의 특성 공식이 성립하는 소수 $p$ 는 무엇이며, 그 실패는 무엇에 의해 제어되는가?
• RQ2 Finkelberg-Mirković 추측을 사용하여, 양의 특성에서 모든 단순 모듈러에 대해 통일된 특성 공식을 유도할 수 있는가?
• RQ3 교차 코호몰로지 스태크의 계산이 매우 어려운 점을 감안해, 기울임 모듈러의 특성 계산을 어떻게 가능하게 할 수 있는가?
• RQ4 아핀 헤이크 대수에서 $p$-Kazhdan-Lusztig 다항식과 $p$-canonical 기저 사이의 정확한 관계는 무엇인가?
• RQ5 국소 정수 교차 코호몰로지 군의 토르션 클래스는 Lusztig의 특성 공식의 타당성에 어떤 영향을 미치는가?

주요 결과

• S. Riche 와의 추측은 $\mathrm{GL}_n$ 에서 증명되었으며, $p$-canonical 기저를 사용하여 기울임 모듈러의 특성 공식을 제공하여 Lusztig의 공식에 비해 계산 가능성이 높은 대안을 제공한다.
• $p$-canonical 기저는 아핀 그라스만리안과 성질 sheaf의 기하학적 성질에서 자연스럽게 유도되며, 양의 특성에서 기울임 모듈러의 특성을 지배한다.
• Finkelberg-Mirković 추측은 큰 $p$ 에서 Lusztig의 특성 공식을 암시하며, 그 타당성 문제는 국소 정수 교차 코호몰로지 군의 토르션 제어로 환원된다.
• $p$-Kazhdan-Lusztig 다항식은 $p$-canonical 기저를 통해 정의되며, 모듈라 표현 이론에서 일반 카즈단-루스츠지 다항식의 대체로 기능한다.
• 정리에 따르면 기울임 모듈러의 특성은 반구면 $p$-Kazhdan-Lusztig 다항식의 합으로 표현될 수 있으며, 이는 큰 $p$ 에서 Lusztig의 추측을 암시한다.
• 성질 sheaf와 $p$-canonical 기저를 통한 프레임워크는 Finkelberg-Mirković 추측과 Koszul 쌍대성을 가지며, 이는 모듈라 표현 이론의 깊이 있는 기하학적-일반적 구조를 시사한다.