[논문 리뷰] Algebraic structure of countably compact non-torsion Abelian groups of size continuum from selective ultrafilters

Matheus Koveroff Bellini, Ana Carolina Boero외 2명|arXiv (Cornell University)|2019. 09. 07.

Advanced Topology and Set Theory참고 문헌 25인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 선택적 초필터의 존재를 이용하여 크기가 연속체인 비순환 아벨 군의 분류를 수립한다. 이 군들은 가산 콪 pact한 군 위상수를 가질 수 있으며, 이는 비자명한 수렴 수열을 갖는가 없는가에 따라 다르게 나타난다. 2𝔠 개의 선택적 초필터가 존재할 경우, 주어진 무게 κ ∈ [𝔠, 2𝔠]를 갖는 이러한 위상수 중 2𝔠 개의 서로 위상동형이 아닌 위상수들이 존재한다.

ABSTRACT

Assuming the existence of $\mathfrak c$ incomparable selective ultrafilters, we classify the non-torsion Abelian groups of cardinality $\mathfrak c$ that admit a countably compact group topology. We show that for each $κ\in [\mathfrak c, 2^\mathfrak c]$ each of these groups has a countably compact group topology of weight $κ$ without non-trivial convergent sequences and another that has convergent sequences. Assuming the existence of $2^\mathfrak c$ selective ultrafilters, there are at least $2^\mathfrak c$ non homeomorphic such topologies in each case and we also show that every Abelian group of cardinality at most $2^\mathfrak c$ is algebraically countably compact. We also show that it is consistent that every Abelian group of cardinality $\mathfrak c$ that admits a countably compact group topology admits a countably compact group topology without non-trivial convergent sequences whose weight has countable cofinality.

연구 동기 및 목표

• 크기가 𝔠인 비순환 아벨 군 중에서 가산 콑 pact한 군 위상수를 가질 수 있는 군들을 분류하는 것.
• 비자명한 수렴 수열을 포함하거나 포함하지 않는 이러한 위상수의 존재성과 구조를 규명하는 것.
• 선택적 초필터 가정 하에 이러한 군들 위에 실현 가능한 서로 위상동형이 아닌 가산 콑 pact한 군 위상수의 수를 조사하는 것.
• 크기가 2𝔠 이하인 아벨 군들에 대한 대수적 가산 콑 pact성의 일致성을 탐색하는 것.
• p-콤팩트성과 ZFC에서 실현 가능한 가산 콑 pact한 자유 아벨 군에 대한 열린 질문들을 다루는 것.

제안 방법

• ω 위에 𝔠 개의 서로 비교 불가능한 선택적 초필터의 존재를 이용하여 크기가 𝔠인 비순환 아벨 군 위에 군 위상수를 구성하는 것.
• 특히 p-극한 수열을 활용하는 선택적 초필터 기반 군 위상수 구성 기법을 적용하는 것.
• p-극한 점과 초필터 수렴의 개념을 사용하여, 비자명한 수렴 수열 없이도 가산 콑 pact성을 보장하는 것.
• G ⊕ W_ω 위에 위상수를 구성하여 알려진 모델의 성질을 전이시키며, 무게 κ ∈ [𝔠, 2𝔠]를 확보하고 초필터 증거를 통해 위상동형이 아님을 보장하는 것.
• 2𝔠 개의 선택적 초필터의 존재를 이용하여, 주어진 공간과 관련된 초필터 집합 외부의 초필터를 선택함으로써 2𝔠 개의 서로 위상동형이 아닌 위상수를 생성하는 것.
• 특히 Dikranjan, Tkachenko, Tomita 등의 이전 연구 결과를 응용하여, 더 강력한 집합론적 가정 하에서 분류를 확장하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 𝔠 개의 선택적 초필터가 존재할 조건 하에서, 크기가 𝔠인 비순환 아벨 군 중에서 비자명한 수렴 수열이 없는 가산 콑 pact한 군 위상수를 가질 수 있는 군은 무엇인가?
• RQ2 2𝔠 개의 선택적 초필터가 존재할 경우, 크기가 2𝔠 이하인 모든 아벨 군이 대수적으로 가산 콑 pact한가?
• RQ3 주어진 무게 κ ∈ [𝔠, 2𝔠]를 갖는 이러한 군 위에 존재할 수 있는 서로 위상동형이 아닌 가산 콑 pact한 군 위상수는 몇 개인가?
• RQ4 크기가 𝔠인 아벨 군이 가산 콑 pact한 군 위상수를 가질 경우, 비자명한 수렴 수열이 없고 무게가 가산 코finality를 갖는 위상수를 동시에 가질 수 있는가에 대한 일치성은 어떻게 보장되는가?
• RQ5 어떤 선택적 초필터 p에 대해, ℤ^(𝔠) × ℚ^(𝔠) 위에 비자명한 수렴 수열이 없는 p-콤팩트 군 위상수를 실현할 수 있는가?

주요 결과

• 𝔠 개의 선택적 초필터가 존재한다고 가정할 경우, 자유 랭크가 𝔠이고 모든 d|n에 대해 dG[n]이 유한하거나 크기가 𝔠인 크기가 𝔠인 비순환 아벨 군은 비자명한 수렴 수열이 없는 가산 콑 pact한 군 위상수를 가진다.
• 모든 κ ∈ [𝔠, 2𝔠]에 대해, 이러한 군들은 비자명한 수렴 수열이 없는 무게 κ의 가산 콑 pact한 군 위상수를 가진다.
• 2𝔠 개의 선택적 초필터가 존재한다고 가정할 경우, 각 이러한 군에는 비자명한 수렴 수열이 있는가 없는가에 관계없이 최소 2𝔠 개의 서로 위상동형이 아닌 가산 콑 pact한 군 위상수가 존재한다.
• 2𝔠 개의 선택적 초필터가 존재한다고 가정할 경우, 크기가 2𝔠 이하인 모든 아벨 군은 대수적으로 가산 콑 pact하다.
• 크기가 𝔠인 아벨 군이 가산 콑 pact한 군 위상수를 가질 경우, 비자명한 수렴 수열이 없고 무게가 가산 코finality를 갖는 위상수를 동시에 가질 수 있는 것이 일치성 있게 보장된다.
• 목표 공간과 관련된 초필터 집합 외부의 초필터를 선택함으로써 위상수의 위상동형이 아님을 보장하며, 이는 위상수의 비가산적 다양성을 가능하게 한다.