[논문 리뷰] "Algebraic truths" vs "geometric fantasies": Weierstrass' Response to Riemann

Umberto Bottazzini|ArXiv.org|2003. 05. 01.

History and Theory of Mathematics참고 문헌 3인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 아벨 적분의 자코비 역문제를 해결하는 데 있어 리만의 복소함수론에 대한 기하적 접근 방식에 대해 바이어슈트라스가 제기한 비판적 반응을 분석한다. 바이어슈트라스는 기하적 직관과 편미분에 의존하는 리만의 접근을 기각하고, 수렴하는 멱급수와 산술적 기초에 기반한 함수 이론을 창설하였으며, 이는 연속적이지만 곳곳에서 미분 가능하지 않은 함수의 구성과 딜리클레 원리에 대한 반례로 이어졌다.

ABSTRACT

In the 1850s Weierstrass succeeded in solving the Jacobi inversion problem for the hyper-elliptic case, and claimed he was able to solve the general problem. At about the same time Riemann successfully applied the geometric methods that he set up in his thesis (1851) to the study of Abelian integrals, and the solution of Jacobi inversion problem. In response to Riemann's achievements, by the early 1860s Weierstrass began to build the theory of analytic functions in a systematic way on arithmetical foundations, and to present it in his lectures. According to Weierstrass, this theory provided the foundations of the whole of both elliptic and Abelian function theory, the latter being the ultimate goal of his mathematical work. Riemann's theory of complex functions seems to have been the background of Weierstrass's work and lectures. Weierstrass' unpublished correspondence with his former student Schwarz provides strong evidence of this. Many of Weierstrass' results, including his example of a continuous non-differentiable function as well as his counter-example to Dirichlet principle, were motivated by his criticism of Riemann's methods, and his distrust in Riemann's ``geometric fantasies''. Instead, he chose the power series approach because of his conviction that the theory of analytic functions had to be founded on simple "algebraic truths". Even though Weierstrass failed to build a satisfactory theory of functions of several complex variables, the contradiction between his and Riemann's geometric approach remained effective until the early decades of the 20$^{th}$ century.

연구 동기 및 목표

• 리만의 아벨 함수와 복소함수론에 대한 기하적 접근에 대한 바이어슈트라스의 철학적·수학적 반응을 분석한다.
• 수렴하는 멱급수에 기반한 엄밀한 산술적 기초를 바탕으로 해석 함수를 어떻게 구축했는지 설명한다.
• 연속적이지만 곳곳에서 미분 가능하지 않은 함수와 자연경계를 가진 급수와 같은 바이어슈트라스의 반례들이 리만의 가정을 어떻게 도전하는지 조사한다.
• 복소해석학 발전 과정에서 바이어슈트라스의 '대수적 진리'와 리만의 '기하적 환상' 간의 역사적·개념적 갈등을 명확히 한다.
• 이 기초 논쟁이 다변수 복소함수론의 발전에 미친 장기적 영향을 평가한다.

제안 방법

• 바이어슈트라스는 균일 수렴하는 멱급수를 사용하여 해석 함수를 구성하였으며, 이러한 급수들이 복소함수론의 유일한 엄밀한 기초임을 주장하였다.
• 타원 θ-함수의 선형 변환 이론을 적용하여, 일부 간격 급수는 자연경계를 가지며 그 영역을 초월한 해석 continuation 이 불가능하다는 것을 보였다.
• ab > 1 + ³⁄₂π 조건을 만족하는 급수 ∑bⁿx^{aⁿ}의 예를 들어 단위원 |x| = 1 이 자연경계임을 증명함으로써, 곳곳에서 미분 가능하지 않은 함수와 계속될 수 없는 함수 사이의 연결 고리를 확립하였다.
• 디리클레 원리에 대한 반례를 구성함으로써, 딜리클레 적분 조건을 만족하지만 최소값을 취하지 않는 함수를 제시함으로써 리만의 변분법에 도전하였다.
• 단일 멱급수가 수렴 영역이 분리된 영역에서 서로 다른 해석 함수를 표현할 수 있음을 증명함으로써, 단일함수의 개념이 항상 산술적으로 정의된 함수와 일치하지 않음을 보였다.
• 그는 멱급수 접근법을 다변수 복소함수의 함수로 체계적으로 확장하였으며, 이는 리만이 편미분에 의존하는 것보다 더 엄밀하다고 주장하였다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 바이어슈트라스의 복소함수론에 대한 기초 접근 방식은 리만의 기하적 방법과 본질적으로 어떻게 다를까?
• RQ2 리만이 해석적 계속 가능성과 딜리클레 원리에 관해 가졌던 가정을 도전하기 위해 바이어슈트라스는 어떤 구체적인 반례를 구성했는가?
• RQ3 왜 바이어슈트라스는 복소함수를 정의할 때 편미분의 사용을 기각했으며, 멱급수에 의존하는 것이 어떻게 정당화되었는가?
• RQ4 바이어슈트라스의 자연경계와 곳곳에서 미분 가능하지 않은 함수에 대한 연구가 리만의 기하적 직관이 복소함수론에서 잘못된 방향을 제시할 수 있음을 얼마나 깊이 드러내었는가?
• RQ5 바이어슈트라스의 산술적 기초와 리만의 기하적 통찰 간의 해결되지 않은 긴장관계가 20세기 복소함수론의 발전에 어떻게 영향을 주었는가?

주요 결과

• 바이어슈트라스는 단일 멱급수가 분리된 수렴 영역에서 수렴할 수 있으며, 각 영역에서 서로 다른 해석 함수를 표현할 수 있음을 보였으며, 이는 단일함수의 개념이 산술적으로 정의된 함수와 완전히 일치하지 않음을 증명하였다.
• ab > 1 + ³⁄₂π 조건을 만족하는 급수 ∑bⁿx^{aⁿ}는 단위원 |x| = 1 을 자연경계로 가지며, 이는 그 원을 초월한 해석적 계속이 불가능하다는 것을 의미한다.
• 간격 급수를 사용하여 연속적이지만 곳곳에서 미분 가능하지 않은 함수를 구성함으로써, 바이어슈트라스는 기하적 직관이 복소함수론에서 오류를 일으킬 수 있음을 강화하였다.
• 디리클레 원리에 대한 반례를 제시함으로써, 딜리클레 적분 조건을 만족하지만 최소값을 취하지 않는 함수를 보여줌으로써 리만의 변분법에 도전하였다.
• 다양한 복소변수 함수론에 대한 광범위한 연구에도 불구하고, 바이어슈트라스는 여전히 엄밀한 이론을 완성하지 못했으며, 일반적인 자코비 역문제는 부분적으로만 해결되었다.
• 바이어슈트라스의 산술적 기초와 리만의 기하적 접근 간의 갈등은 20세기 초까지 지속되었으며, 이때에 비로소 다변수 복소함수론의 현대 이론이 확립되었다.