[논문 리뷰] Algebras of differential operators on Lie groups and spectral multipliers

Alessio Martini|arXiv (Cornell University)|2010. 07. 07.

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한 줄 요약

이 논문은 다항체적 부피 성장 조건을 만족하는 연결 리군, 특히 동차 리군에서 상호작용하는 왼쪽 이행 미분 연산자 시스템에 대해 공동 스펙트럼 승수 정리들을 수립한다. 공동 스펙트럼 분해, 표현 이론, 전달 기법을 활용하여 고전적 결과를 다중 연산자 및 비널포텐트 군으로 확장함으로써 군의 성장과 관련된 향상된 부드러움 조건을 갖춘 미하린-홀란더 및 마르친키에비치 유형의 승수 정리들을 증명한다.

ABSTRACT

This thesis is devoted to the study of joint spectral multipliers for a system of pairwise commuting, self-adjoint left-invariant differential operators L_1,...,L_n on a connected Lie group G. Under the assumption that the algebra generated by L_1,...,L_n contains a weighted subcoercive operator - a notion due to ter Elst and Robinson (J. Funct. Anal., 157(1):88--163, 1998), including positive elliptic operators, sublaplacians and Rockland operators - we prove that L_1,...,L_n are (essentially) self-adjoint and strongly commuting on L^2(G). Moreover, we perform an abstract study of such a system of operators, in connection with the algebraic structure and the representation theory of G, similarly as what is done in the literature for the algebras of differential operators associated with Gelfand pairs. When G has polynomial volume growth, weighted L^1 estimates are obtained for the convolution kernel of the operator m(L_1,...,L_n) corresponding to a compactly supported multiplier m satisfying some smoothness condition. The order of smoothness which we require on m is related to the degree of polynomial growth of G. In the case G is a homogeneous Lie group and L_1,...,L_n are homogeneous operators, an L^p multiplier theorem of Mihlin-Hörmander type is proved, extending known results for a single Rockland operator. Further, a product theory is developed, by considering several homogeneous groups G_j, each of which with its own system of operators, and a multiplier theorem of Marcinkiewicz type is proved, not only on the direct product of the G_j, but also on other (possibly non-homogeneous) groups, containing homomorphic images of the G_j. Consequently, for certain non-nilpotent groups of polynomial growth and for some distinguished sublaplacians, we are able to improve the general result of Alexopoulos (Proc. Amer. Math. Soc., 120(3):973-979, 1994).

연구 동기 및 목표

• 연결 리군에서 다항체적 부피 성장 조건을 만족하는 $L^p$ 공간에서의 공동 스펙트럼 승수의 유계성 문제를 다루며, 고전적 푸리에 승수 이론을 리군에서 상호작용하는 미분 연산자 시스템으로 확장한다.
• 기저 군이 다항체적 부피 성장 조건을 만족하고 연산자들이 왼쪽 이행적이며 형식적으로 자기수반일 경우, $L^p$ 유계성을 보장하는 승수 조건을 수립한다.
• 단일 연산자 승수 정리(예: 미하린-홀란더)를 스펙트럼 이론과 동형 리군에서의 조화 분석을 통해 다중 상호작용 연산자로 일반화한다.
• 직접 곱의 동차 군 위에서 비표준적인 전달 기법을 사용하여 승수 결과를 동형 이미지를 포함하는 비동형 군으로 확장하는 제품 이론을 개발한다.
• 군과 연산자들의 대수적 및 표현 이론적 구조를 활용하여 승수에 요구되는 부드러움 조건을 줄인다.

제안 방법

• 강한 상호작용하는 자기수반 연산자 $L_1, \dots, L_n$ 에 대한 공동 스펙트럼 분해를 사용하며, 스펙트럼 적분을 통해 정의된다: $m(L) = \int_{\mathbb{R}^n} m(\lambda) \, dE(\lambda)$.
• 가중치를 가진 하향 연산자 이론을 적용하여 $L^2(G)$ 상에서 연산자들의 본질적 자기수반성과 강한 상호작용성을 보장한다.
• 승수 $m$ 이 컴팩트 지지를 가지며 군의 다항체적 성장 차수와 관련된 부드러움 조건을 만족할 경우, $m(L)$ 의 콘볼루션 커널에 대한 가중치 $L^1$ 추정을 유도한다.
• 동차 리군에서 비등방성 확대에 적합한 수정된 미하린-홀란더 조건을 도입하여 $1 < p < \infty$ 에서 $L^p$ 유계성을 보장한다.
• 직접 곱의 동차 군 위에서 비표준 전달 기법을 사용하여, 군의 동형 이미지를 통해 다른 군으로의 승수 정리 확장을 이룬다.
• 표현 이론과 플랑커엘 측도를 활용하여 공동 함수 해석학의 커널 변환과 스펙트럼 구조를 분석한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 연결 리군 $G$ 가 다항체적 부피 성장을 만족할 때, $p \neq 2$ 에서 $L^p(G)$ 상에서 공동 스펙트럼 승수 $m(L_1, \dots, L_n)$ 가 유계일 조건은 무엇인가?
• RQ2 승수 $m$ 이 요구하는 부드러움의 정도는 리군 $G$ 의 다항체적 성장 차수에 따라 어떻게 달라지는가?
• RQ3 단일 하위라플라시안에 대한 미하린-홀란더 승수 정리는 동차 리군에서 상호작용하는 왼쪽 이행 미분 연산자 시스템으로 확장될 수 있는가?
• RQ4 전달 기법을 통해 동형 군에서의 승수 정리를 비동형 군으로 확장할 수 있는 정도는 어느 정도인가? 특히 동형 이미지를 포함하는 군으로의 확장은 어떻게 가능한가?
• RQ5 겔판트 쌍과 표현 이론의 맥락에서, 연산자들이 생성하는 대수의 역할은 강한 상호작용성과 스펙트럼 분해를 보장하는 데 어떤 기여를 하는가?

주요 결과

• 연결 리군 $G$ 에서 형식적으로 자기수반이고 상호작용하는 왼쪽 이행 미분 연산자 시스템은, 이들이 생성하는 대수에 가중치를 가진 하향 연산자가 포함되어 있을 경우, $L^2(G)$ 상에서 본질적으로 자기수반적이며 강하게 상호작용한다.
• 다항체적 부피 성장을 만족하는 동차 리군에 대해서는 미하린-홀란더 유형의 승수 정리가 성립한다: 승수 $m$ 이 군의 확대에 적합한 순서 $s > n/2$ 의 부드러움 조건을 만족할 경우, $1 < p < \infty$ 에서 $m(L)$ 이 $L^p$ 에서 유계가 된다.
• 승수에 요구되는 부드러움 순서는 군의 다항체적 성장 차수와 직접적으로 관련되어 있으며, 이 조건은 낮은 부드러움이 유계성을 보장하지 못할 수 있음을 보여주는 최적 조건이다.
• 동차 군의 곱 위에서 전달 기법을 사용함으로써, 곱 군 뿐 아니라 요소 군의 동형 이미지를 갖는 다른 군들에 대해서도 마르친키에비치 유형의 승수 정리가 성립함을 확립한다.
• 특정 비널포텐트 군들 및 다항체적 성장 조건을 만족하는 일부 하위라플라시안에 대해서는, 이전에 알렉소파울로스(1994)에 의해 확립된 일반적인 $L^p$ 승수 유계성 결과보다 향상된 결과를 얻는다.
• 승수 $m$ 이 컴팩트 지지를 가지며 부드러움 조건을 만족할 경우, $m(L)$ 의 콘볼루션 커널에 대한 가중치 $L^1$ 추정을 확보하며, 이 가중치는 군의 성장과 연산자 시스템에 따라 달라진다.