[논문 리뷰] Algebras of quantum monodromy data and decorated character varieties

Leonid Chekhov, Marta Mazzocco외 1명|arXiv (Cornell University)|2017. 05. 03.

Algebraic structures and combinatorial models참고 문헌 23인용 수 10

한 줄 요약

이 논문은 리만 곡면 위의 비정칙 특이점을 가진 연결장에 대해 양자 단조성 대수의 프레임워크를 제안하며, 스토크스 데이터와 형식적 단조성을 포함하는 장식된 특성 다양체를 구축한다. 이러한 연결장의 드 레함 모듈리 공간과 장식된 특성 다양체 사이에 파울리 동형사상이 존재한다는 추측을 제기하며, 이는 종수 0, 랭크 2, 푸앵카레 순서 3의 경우에 검증되었으며, 지무보-미와 시스템과 PII 방정식과 연결된다.

ABSTRACT

The Riemann-Hilbert correspondence is an isomorphism between the de Rham moduli space and the Betti moduli space, defined by associating to each Fuchsian system its monodromy representation class. In 1997 Hitchin proved that this map is a symplectomorphism. In this paper, we address the question of what happens to this theory if we extend the de Rham moduli space by allowing connections with higher order poles. In our previous paper arXiv:1511.03851, based on the idea of interpreting higher order poles in the connection as boundary components with bordered cusps (vertices of ideal triangles in the Poincaré metric) on the Riemann surface, we introduced the notion of decorated character variety to generalize the Betti moduli space. This decorated character variety is the quotient of the space of representations of the fundamental groupid of arcs by a product of unipotent Borel sub-groups (one per bordered cusp). Here we prove that this representation space is endowed with a Poisson structure induced by the Fock--Rosly bracket and show that the quotient by unipotent Borel subgroups giving rise to the decorated character variety is a Poisson reduction. We deal with the Poisson bracket and its quantization simultaneously, thus providing a quantisation of the decorated character variety. In the case of dimension 2, we also endow the representation space with explicit Darboux coordinates. We conclude with a conjecture on the extended Riemann-Hilbert correspondence in the case of higher order poles.

연구 동기 및 목표

• 리만 곡면 위의 고차 극을 가진 비정칙 특이점을 가진 연결장으로 고전적 리만-힐베르트 대응을 확장하는 것.
• 형식적 단조성, 스토크스 데이터, 형식적 해의 성장률을 모두 포함하는 양자 단조성 대수를 정의하는 것.
• 단조성 데이터와 추가 장식 데이터(형식적 해의 성장률)를 모두 포함하는 장식된 특성 다양체를 구축하는 것.
• 리만-힐베르트 대응이 드 레함 모듈리 공간과 장식된 특성 다양체 사이에 파울리 동형사상으로 이어진다는 추측을 제기하는 것.
• 종수 0, 랭크 2, 푸앵카레 순서 3의 비정칙 특이점 하나를 가진 비정상적인 경우에 추측을 검증하는 것 — PII 방정식과 연결된다.

제안 방법

• 형식적 해 $Y_p$와 그 변형을 포함하는 잔여 공식을 사용하여 비정칙 특이점을 가진 유리형 연결장의 공간에 심플렉틱 구조를 도입하는 것.
• 모듈리 공간을 $SL_k$-게이지에 대해 나눈 연결장의 모듈리 공간과 형식적 해의 성장률을 포함하는 장식 공간의 곱으로서 장식된 특성 다양체 $\mathcal{Z}_{irr}^{k}(\Sigma_{g,s})$를 정의하는 것.
• 드 레함 모듈리 공간의 차원과 심플렉틱 형식을 계산하기 위해 크리체버 구축법을 사용하며, $\mathrm{Tr}(Y^{-1}\delta A \wedge \delta Y)$를 포함하는 잔여 공식을 적용하는 것.
• 데 레함 측면의 공간을 2차원 부분다양체로 제한하기 위해 등단조성 변형 조건 $\partial A/\partial t - \partial B/\partial z = [B,A]$를 적용하는 것.
• 가이오토-무어-네이츠케 프레임워크를 활용하여 $n = 2(r_1 + \cdots + r_s)$로 설정함으로써, 장식된 특성 다양체와 허그스 다각형 모듈리 공간 사이의 차원 일치를 확보하는 것.
• 보알, 구알티에리-리-피움, 이나바-사이토의 야생 특성 다양체 및 일반화된 단조성 데이터에 관한 결과를 활용하여 추측적 대응을 뒷받침하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 고차 극을 가진 비정칙 특이점을 가진 연결장으로 고전적 리만-힐베르트 대응을 확장할 수 있는가?
• RQ2 비정칙 케이스에서 단조성 데이터, 스토크스 데이터, 형식적 해의 성장률을 모두 포괄하는 올바른 대수적·기하학적 구조는 무엇인가?
• RQ3 비정칙 연결장의 드 레함 모듈리 공간과 스토크스 및 형식적 단조성을 포함하는 장식된 특성 다양체 사이에 파울리 동형사상이 존재하는가?
• RQ4 등단조성 변형은 드 레함 측면의 모듈리 공간을 어떻게 제약하며, 이는 Betti 측면의 구조와 일치하는가?
• RQ5 단일 비정칙 특이점의 경우에 장식된 특성 다양체의 차원과 심플렉틱 구조가 허그스 다각형 모듈리 공간과 일치하는가?

주요 결과

• 푸앵카레 순서 3의 비정칙 특이점 하나를 가진 랭크 2 연결장의 공간 $\mathcal{Z}_{irr}^{2}(\Sigma_{0,1})$는 차원 9를 가지며, 형식적 해를 포함하는 잔여 공식으로부터 유도된 심플렉틱 형식을 갖는다.
• 등단조성 변형 조건 $\partial A/\partial t - \partial B/\partial z = [B,A]$를 적용한 후, 드 레함 측면은 2차원 부분다양체 $\tilde{\mathcal{Z}}_{irr}^{2}(\Sigma_{0,1})$로 줄어든다.
• 종수 0, 경계 1개, 여섯 개의 경계 쿠스프, 랭크 2에 대한 장식된 특성 다양체 $\mathcal{M}_{0,1,6}^{2}$는 차원 9와 하나의 카시미르를 가지며, 드 레함 측면과 일치하는 차원을 갖는다.
• Betti 측면의 등단조성 대수는 경계 쿠스프 사이의 호에 대응하는 고결 클러스터 변수와 파울리 교환관계를 이루는 함수들로 정의된다.
• 일반화된 단조성 데이터 공간 $\widetilde{\mathcal{R}(0,2,1)}$의 차원은 8이며, $\dim \mathcal{M}_{0,1,6}^{2} - 1$과 일치하여 하나의 카시미르 존재와 일관된다.
• 리만-힐베르트 사상 $RH: \mathcal{Z}_{irr}^{k}(\Sigma_{g,s}) \to \mathcal{M}_{g,s,n}^{k}$가 파울리 동형사상임이라는 추측은 $g=0$, $k=2$, $r=3$의 경우에 검증되었으며, 지무보-미와 시스템과 PII 방정식과 연결된다.