[논문 리뷰] Algorithmic and Complexity Results for Cutting Planes Derived from Maximal Lattice-Free Convex Sets

Amitabh Basu, Robert Hildebrand외 1명|arXiv (Cornell University)|2011. 07. 25.

Optimization and Packing Problems참고 문헌 15인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 최대 밀도 자유 볼록 집합을 사용하여 혼합정수계획법에서 최적의 컷 평면을 생성하기 위한 다항시간 알고리즘을 제공한다. 두 개의 정수 변수에 대해 이완된 코너 폴리토프의 면 수가 다항식임을 증명하여, 복잡한 감소 기반 방법 대신 명시적이고 검증 가능한 조건을 통해 컷의 효율적 탐색과 최적화가 가능하다.

ABSTRACT

We study a mixed integer linear program with m integer variables and k non-negative continuous variables in the form of the relaxation of the corner polyhedron that was introduced by Andersen, Louveaux, Weismantel and Wolsey [Inequalities from two rows of a simplex tableau, Proc. IPCO 2007, LNCS, vol. 4513, Springer, pp. 1--15]. We describe the facets of this mixed integer linear program via the extreme points of a well-defined polyhedron. We then utilize this description to give polynomial time algorithms to derive valid inequalities with optimal l_p norm for arbitrary, but fixed m. For the case of m=2, we give a refinement and a new proof of a characterization of the facets by Cornuejols and Margot [On the facets of mixed integer programs with two integer variables and two constraints, Math. Programming 120 (2009), 429--456]. The key point of our approach is that the conditions are much more explicit and can be tested in a more direct manner, removing the need for a reduction algorithm. These results allow us to show that the relaxed corner polyhedron has only polynomially many facets.

연구 동기 및 목표

• 최대 밀도 자유 볼록 집합에서 강력한 컷 평면을 생성하기 위한 알고리즘 도구를 개발하기 위해.
• 복잡한 감소 기반 방법 대신 명시적이고 검증 가능한 조건으로 면 정의 부등식을 제공하기 위해.
• m=2일 때 이완된 코너 폴리토프의 면 수가 다항식임을 증명하기 위해.
• 고정된 m에 대해 l_p 노름이 최소가 되는 컷을 효율적으로 찾는 알고리즘을 설계하기 위해.
• 실제 정수계획법 응용을 위해 구조적 통찰과 알고리즘 효율성을 통합하기 위해.

제안 방법

• 모든 타당 부등식을 기술하기 위해 conv(R_f)의 차단 다면체를 사용하여 다항시간 계산이 가능하다.
• 다항식 수의 면을 가진 잘 정의된 다면체의 극단점들을 통해 면 정의 부등식을 특성화한다.
• 고정된 m에 대해 l_p-노름 컷의 최적화를 다항식 수의 제약 조건을 가진 선형계획법으로 공식화한다.
• m=2일 때 최대 밀도 자유 볼록 집합을 다섯 유형으로 분류하고, 면에 관련된 것은 다항식 수임을 보여준다.
• 반복적 감소 알고리즘의 필요성을 피하기 위해, 면 조건에 대한 새로운 직접적 특성화를 제공한다.
• 기하학적 이중성과 밀도 자유 집합의 민코프스키 함수를 활용하여 명시적 부등식을 유도한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 고정된 m에 대해 이완된 코너 폴리토프의 면 수를 다항식으로 유 bounds 할 수 있는가?
• RQ2 면 정의 부등식은 복잡한 감소 기반 방법 대신 명시적이고 검증 가능한 조건으로 특성화할 수 있는가?
• RQ3 고정된 m에 대해 최적의 컷 평면(최소 l_p 노름)을 다항시간에 계산할 수 있는가?
• RQ4 최대 밀도 자유 집합의 구조적 성질은 conv(R_f)의 면 구조와 어떻게 관련되는가?
• RQ5 컷 평면 이론을 이론적 엄밀성을 유지하면서도 알고리즘적으로 효율적으로 만들 수 있는가?

주요 결과

• m=2일 때 conv(R_f)의 면 수는 입력 크기에 대해 다항식이므로, 핵심 복잡도 문제를 해결한다.
• 모든 고정된 m에 대해 l_p 노름 기준 최적 컷은 다항시간에 계산 가능하다.
• l_1 및 l_∞ 노름 경우는 다항식 수의 제약 조건을 가진 선형계획법을 풀면 된다.
• 복잡한 감소 알고리즘의 필요성을 피하기 위해, 면 정의 부등식에 대한 새로운 직접적 특성화가 제공된다.
• 증명은 m=2일 때 각 유형의 최대 밀도 자유 집합 중 다항식 수만 고려하면 된다고 보여준다.
• m=2일 때 conv(R_f)의 모든 면을 다항시간에 나열할 수 있는 알고리즘이 존재하며, 정밀화된 필요 조건을 사용한다.