[논문 리뷰] Algorithms and Convergence Results of Projection Methods for Inconsistent Feasibility Problems: A Review

Yair Censor, Maroun Zaknoon|arXiv (Cornell University)|2018. 02. 21.

Optimization and Variational Analysis참고 문헌 53인용 수 50

한 줄 요약

일관되지 않은 볼록 타당성 문제에 대한 투영 방법의 포괄적 검토로 수렴 결과, 알고리즘 및 주요 이론 발전을 요약.

ABSTRACT

The convex feasibility problem (CFP) is to find a feasible point in the intersection of finitely many convex and closed sets. If the intersection is empty then the CFP is inconsistent and a feasible point does not exist. However, algorithmic research of inconsistent CFPs exists and is mainly focused on two directions. One is oriented toward defining other solution concepts that will apply, such as proximity function minimization wherein a proximity function measures in some way the total violation of all constraints. The second direction investigates the behavior of algorithms that are designed to solve a consistent CFP when applied to inconsistent problems. This direction is fueled by situations wherein one lacks a priori information about the consistency or inconsistency of the CFP or does not wish to invest computational resources to get hold of such knowledge prior to running his algorithm. In this paper we bring under one roof and telegraphically review some recent works on inconsistent CFPs.

연구 동기 및 목표

• 일관되지 않은 볼록 타당성 문제(CFP)의 주요 개념과 동기에 대해 요약한다.
• CFP의 불일치를 처리하는 데 사용되는 과거 및 최근의 투영 기반 알고리즘을 조사한다.
• 다양한 투영 스킴에서의 수렴 결과와 조건을 강조한다.
• 이론(고정점, 변분 부등식)과 투영 방법의 실질적 응용 간의 연결을 다룬다.

제안 방법

• 두 집합에 대한 투영 연산자의 구성과 수렴 및 다중 집합으로의 확장을 논의한다.
• 주기적(cyclic) 및 블록 반복 투영 스킴과 그 수렴 특성을 설명한다.
• 불일치 설정에서의 최소제곱 해석 및 블록-카즈마로프 완화 결과를 설명한다.
• CFP를 동등한 최적화 문제로 바꾸는 곱 공간 재구성에 대해 요약한다.
• 프로ximity 함수 최소화 및 관련 알고리즘 체계에 기반한 브레그만-투영(Bregman-projection) 기법을 개략한다.
• 일관되지 않은 경우에서도 수렴을 보존하는 문자열 평균화 투영(SAP)과 그 수렴성을 제시한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 제약 집합의 교집합이 비어 있을 때 고전적 투영 방법은 어떤 수렴 특성을 보이는가?
• RQ2 주기적, 블록, 문자열 평균화 투영 스킴은 어떤 조건에서 수렴하며, 수렴 속도는 어떻게 되는가?
• RQ3 곱 공간 형식화와 proximity 함수 최소화가 일관되지 않은 CFP의 해결에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ4 언더릴렉스(projection methods) 맥락에서 De Pierro의 추측은 어떤 상태인가?

주요 결과

• 투영 방법은 다양한 가정하에 불일치 CFP에서 고정점이나 최소제곱 해법/가까운 해로 수렴할 수 있다.
• 주기적 및 블록 반복 투영은 유한 차원, 유한 길이, 다면체(polyhedral) 집합과 같은 조건에서 약한 수렴 또는 강한 수렴을 보인다.
• 언더릴렉스 및 블록-카즈마로프 완화는 완화 매개변수가 0에 가까워질수록 수렴점이 최소제곱 해에 접근하도록 만든다.
• 곱 공간 재구성은 불일치 CFP를 해결하기 위해 병렬 투영 방법을 가능하게 하고 수렴 결과를 얻는다.
• 브레그만-투영 기반의 proximity 최소화는 근접성 함수의 해를 수렴점으로 얻는 프레임워크를 제공한다.
• 문자열 평균화 투영은 불일치 경우에도 단일화된 프레임워크를 통해 적용 가능성을 확장하고 수렴을 유지한다.