[논문 리뷰] Algorithms on Ideal over Complex Multiplication order

Paul Kirchner|arXiv (Cornell University)|2016. 02. 29.

Coding theory and cryptography참고 문헌 25인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 기존의 Gentry-Szydlo 알고리즘을 복소 곱셈(CM) 순서와 더 일반적인 대수적 구조로 확장하여, 이상 등가 테스트, 생성자 찾기, 노름 방정식, 주 이상의 축소 등 다항시간 해법을 가능하게 한다. 주요 기여는 극화된 이상의 생성자를 복원하고, 근사 인자 $ n^{O(\log \log n)} $로 유한거리 디코딩을 해결하는 증명 가능 다항시간 알고리즘을 제안하는 것으로, 이는 이전의 원분 순서에 대한 결과를 크게 일반화한다.

ABSTRACT

We show in this paper that the Gentry-Szydlo algorithm for cyclotomic orders, previously revisited by Lenstra-Silverberg, can be extended to complex-multiplication (CM) orders, and even to a more general structure. This algorithm allows to test equality over the polarized ideal class group, and finds a generator of the polarized ideal in polynomial time. Also, the algorithm allows to solve the norm equation over CM orders and the recent reduction of principal ideals to the real suborder can also be performed in polynomial time. Furthermore, we can also compute in polynomial time a unit of an order of any number field given a (not very precise) approximation of it. Our description of the Gentry-Szydlo algorithm is different from the original and Lenstra- Silverberg's variant and we hope the simplifications made will allow a deeper understanding. Finally, we show that the well-known speed-up for enumeration and sieve algorithms for ideal lattices over power of two cyclotomics can be generalized to any number field with many roots of unity.

연구 동기 및 목표

• 기존의 Gentry-Szydlo 알고리즘을 원분 순서에서 복소 곱셈(CM) 순서와 더 넓은 대수적 구조로 일반화한다.
• 극화된 이상 계량군에서의 등가 테스트를 다항시간 내에 수행하고, 이러한 이상의 생성자를 복원할 수 있도록 한다.
• CM 순서에서 노름 방정식을 다항시간 내에 효율적으로 해결하고, 주 이상을 그들의 실수 부분순서로 축소한다.
• 새로운 Gentry-Szydlo 프레임워크를 활용해 어떤 수체의 단위를 거친 근사치에서 복원한다.
• 어떤 수체에서의 단위근을 활용해 이상 격자에서의 최단벡터 및 스크린 알고리즘의 속도를 높인다.

제안 방법

• CM 순서에 대한 Gentry-Szydlo 알고리즘을 분할된 CM 순서의 구조와 $ x \mapsto x\overline{x} $를 통한 노름 기반 축소를 이용해 적용한다.
• 이상 생성자의 노름에 대해 LLL 기반 격자 축소를 적용하여, 노이즈가 있는 근사치가 존재하더라도 $ v $ 를 $ v\overline{v} $ 로부터 복원한다.
• 수체 위에서 분포 $ \mathcal{D} $ 에서의 표본 추출을 통해 평균 노름 추정과 체비셰프 농도 경계를 이용해 $ v\mu(\mathcal{O}) $ 를 복원한다.
• 작은 소수 이상을 이용해 $ p-1 \mid e $ 조건을 만족시키는 경우, 잘라낸 이상에 대해 Babai의 가장 가까운 평면 알고리즘을 적용하여 $ v^e $ 를 디코딩하고 $ v $ 를 복원한다.
• 단위 격자의 구조와 복소 로그 임bedding을 활용해 근사 오차를 $ n^{-O(\log \log n)} $ 로 제한한다.
• 실수 부분순서 축소를 통해 격자의 차원을 반으로 줄여 최단벡터 탐색을 더 빠르게 수행한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 Gentry-Szydlo 알고리즘은 원분 순서를 초월해 CM 순서와 더 일반적인 대수적 구조로 확장될 수 있는가?
• RQ2 CM 순서에서 극화된 이상 계량군 내의 등가 테스트는 다항시간 내에 결정 가능한가?
• RQ3 CM 순서에서 노름 방정식은 대수적 기법을 통해 효율적으로 해결할 수 있는가?
• RQ4 어떤 수체에서나 거친 근사치로부터 단위를 다항시간 내에 복원할 수 있는가?
• RQ5 최단벡터 알고리즘의 가속화가 루트 오브 유니티를 다수 포함하는 임의의 수체로 일반화될 수 있는가?

주요 결과

• 논문은 GRH 가정 또는 무작위성을 사용할 경우 극화된 이상 계량군 내 등가 테스트가 다항시간 내에 가능하다는 것을 증명하며, $ r = v\overline{v} $ 를 만족하는 임의의 이상 $ (I, r) $ 에 대해 생성자 $ v $ 를 복원할 수 있음을 보였다.
• 확장된 Gentry-Szydlo 프레임워크를 통해 CM 순서에서의 노름 방정식을 다항시간 내에 해결할 수 있다.
• CM 순서에서의 주 이상은 다항시간 내에 그들의 실수 부분순서로 축소될 수 있으며, 이는 FHE 및 다중선형 맵 기반 시스템에 대한 공격 가능성을 제공한다.
• 노름 격자에 대한 격자 축소를 활용해 $ n^{-O(\log \log n)} $ 근사치에서 $ u\overline{u} $ 를 제공받는 단위 $ u $ 를 다항시간 내에 복원할 수 있다.
• Gentry-Szydlo 알고리즘은 루트 오브 유니티를 다수 포함하는 임의의 수체로 일반화되었으며, 최단벡터 및 스크린 알고리즘의 속도를 다항식 계수만큼 높였다.
• 단위 격자에서의 유한거리 디코딩은 히ュ리스틱 가정 하에 다항시간 내에 근사 인자 $ n^{O(\log \log n)} $ 로 해결 가능하다.