[논문 리뷰] Algorithms, Reductions and Equivalences for Small Weight Variants of All-Pairs Shortest Paths

Timothy M. Chan, Virginia Vassilevska Williams외 1명|arXiv (Cornell University)|2021. 01. 01.

Complexity and Algorithms in Graphs참고 문헌 34인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 방향성 있는 무게 없는 그래프에서의 모든 쌍 최단경로(APSP)와 소수의 정수 가중치를 포함하는 여러 변형 문제 간의 미세한 등가성을 확립한다. 이들 변형 문제로는 cRed-APSP, #≤cAPSP, 가감 오차가 있는 근사 APSP, 그리고 모든 쌍의 가벼운 최단경로 문제 등이 포함된다. 연구는 이러한 문제들이 감소를 통해 계산적으로 동치임을 증명하며, 방향성 있는 무게 없는 그래프에서 APSP를 개선하기 위해서는 직사각형 Min-Plus 곱셈 계산에서의 돌풍을 필요로 함을 보이고, 여러 변형 문제에 대해 새로운 근사 최적 알고리즘을 제시한다. 특히 #APSP와 중심성 분석에 대해 ˜O(n³) 시간 알고리즘을 제공한다.

ABSTRACT

APSP with small integer weights in undirected graphs [Seidel'95, Galil and Margalit'97] has an $ ilde{O}(n^ω)$ time algorithm, where $ω<2.373$ is the matrix multiplication exponent. APSP in directed graphs with small weights however, has a much slower running time that would be $Ω(n^{2.5})$ even if $ω=2$ [Zwick'02]. To understand this $n^{2.5}$ bottleneck, we build a web of reductions around directed unweighted APSP. We show that it is fine-grained equivalent to computing a rectangular Min-Plus product for matrices with integer entries; the dimensions and entry size of the matrices depend on the value of $ω$. As a consequence, we establish an equivalence between APSP in directed unweighted graphs, APSP in directed graphs with small $( ilde{O}(1))$ integer weights, All-Pairs Longest Paths in DAGs with small weights, approximate APSP with additive error $c$ in directed graphs with small weights, for $c\le ilde{O}(1)$ and several other graph problems. We also provide fine-grained reductions from directed unweighted APSP to All-Pairs Shortest Lightest Paths (APSLP) in undirected graphs with $\{0,1\}$ weights and $\#_{ ext{mod}\ c}$APSP in directed unweighted graphs (computing counts mod $c$). We complement our hardness results with new algorithms. We improve the known algorithms for APSLP in directed graphs with small integer weights and for approximate APSP with sublinear additive error in directed unweighted graphs. Our algorithm for approximate APSP with sublinear additive error is optimal, when viewed as a reduction to Min-Plus product. We also give new algorithms for variants of #APSP in unweighted graphs, as well as a near-optimal $ ilde{O}(n^3)$-time algorithm for the original #APSP problem in unweighted graphs. Our techniques also lead to a simpler alternative for the original APSP problem in undirected graphs with small integer weights.

연구 동기 및 목표

• 방향성 그래프에서 소수의 정수 가중치를 가진 APSP의 본질적 계산 난이도를 이해하는 것, 특히 지속적인 n².⁵ 블로킹 문제를 중심으로 한다.
• 방향성 무게 없는 APSP와 소수의 가중치 또는 구조적 제약 조건을 포함하는 여러 변형 문제 간의 미세한 감소 관계를 수립하는 것.
• 근사 APSP에 하위선형 가감 오차가 있는 등의 핵심 변형 문제에 대해 향상된 알고리즘을 개발하는 것.
• 현재 방향성 무게 없는 그래프에서 APSP의 런타임이 향상되지 않는 한, 여러 관련 문제들이 Ω(n².⁵²⁸) 시간이 필요하다는 것을 보여주는 것.
• #APSP와 중심성 분석에 대해 기존의 ˜O(n⁴) 기준보다 향상된 근사 최적의 ˜O(n³)-시간 알고리즘을 제공하는 것.

제안 방법

• 직사각형 Min-Plus 곱셈 문제 M⋆(n, nρ, n | n¹⁻ᵣho)로의 미세한 감소를 통해 방향성 무게 없는 APSP와의 등가성을 입증하며, 다항식 시간 이하의 개선을 고려할 경우 동치임을 보였다.
• 정점 집합 Rℓ에 대한 재귀적 분해와 동적 프로그래밍을 통해 제한된 요소를 가진 행렬의 Min-Plus 곱셈을 통해 최단경로를 계산하는 방법을 사용했다.
• Min-Plus 곱셈 계산 결과로부터 실제 최단경로를 복원하기 위해 워치맨 복구 기법을 적용했다.
• Min-Plus 곱셈으로의 감소를 통해 하위선형 가감 오차가 있는 근사 APSP에 대한 새로운 알고리즘을 개발하여, 이 모델에서 최적성을 달성했다.
• #APSP에 대해 계수 계산과 행렬 곱셈 기법을 융합하여, 무게 없는 그래프에서 ˜O(n³)-시간 알고리즘을 제시했다.
• 결과를 약간 대칭적인 가중치를 가진 방향성 그래프로 확장하여, s-근사 대칭성에 대해 ˜O(c₀s nω) 시간을 달성했다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 방향성 APSP의 Ω(n².⁵) 런타임 블로킹은 본질적인 복잡성 때문이냐, 아니면 새로운 알고리즘 통찰력으로 극복 가능한가?
• RQ2 cRed-APSP, #≤cAPSP, 가감 오차가 있는 근사 APSP 등의 변형 문제들이 미세한 감소를 통해 방향성 무게 없는 APSP와 계산적으로 동치인가?
• RQ3 현재 방향성 무게 없는 그래프에서 APSP의 n².⁵²⁸ 하한선이 감소를 통해 다른 문제들로 확장될 수 있는가?
• RQ4 #APSP의 최적 시간 복잡도는 무엇이며, 경로 수가 지수적으로 증가하더라도 ˜O(n³) 시간 내에 달성될 수 있는가?
• RQ5 기존의 ˜O(nω) 알고리즘들이 무방향 APSP에 대해 알려져 있지만, 새로운 프레임워크를 사용해 이를 단순화하거나 재유도할 수 있는가?

주요 결과

• 방향성 무게 없는 APSP는 M⋆(n, nρ, n | n¹⁻ᵣho)를 계산하는 것과 미세한 등가성을 가진다. 여기서 ρ는 ω(1, ρ, 1) = 1 + 2ρ를 만족하며, 이는 직사각형 Min-Plus 곱셈과의 밀접한 연결을 보여준다.
• 현재 방향성 무게 없는 그래프에서 APSP의 O(n².⁵²⁹) 런타임이 향상되지 않는 한, {0,1}-가중치를 가진 무방향 그래프에서의 APSLP 문제와 무게 없는 방향성 그래프에서의 #mod cAPSP 문제는 Ω(n².⁵²⁸) 시간이 필요하다.
• 경로 수가 지수적으로 증가하더라도, 무게 없는 그래프에서 #APSP에 대해 최적의 ˜O(n³)-시간 알고리즘을 제시한다. 이는 이전의 ˜O(n⁴) 기준보다 향상된 것이다.
• 동일한 알고리즘이 중심성 분석에 대해 ˜O(n³)-시간 해법을 제공하며, 이는 이전의 ˜O(n⁴) 런타임보다 향상된 것이다.
• 하위선형 가감 오차가 있는 근사 APSP에 대해 새로운 ˜O(n³)-시간 알고리즘을 제시하였으며, 이는 Min-Plus 곱셈으로의 감소를 고려할 때 최적이다.
• 소수의 정수 가중치를 가진 무방향 APSP에 대해 Shoshan과 Zwick의 알고리즘보다 간단한 대안을 제시하며, 새로운 프레임워크를 활용했다.