[논문 리뷰] All correlation functions of the open XXX spin 1/2 quantum chains for unparallel boundary magnetic fields with one constraint

Giuliano Niccoli|arXiv (Cornell University)|2021. 05. 17.

Algebraic structures and combinatorial models참고 문헌 133인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 비평행 경계 자석장이 작용하는 개방형 XXX 스핀-1/2 체인에서 상관 함수를 계산하기 위한 프레임워크를 개발한다. 양자 분리 변수법(SoV)을 사용하여 경계-체계 분해와 국소 연산자의 별개 상태에 대한 작용을 유도한다. 주요 결과는 비평행 필드의 상관 함수가 변환을 통해 평행 필드 체인의 상관 함수로 감소함을 보여주며, 대각 경계 경우에 알려진 결과와 유사한 다중 적분 공식을 가능하게 한다.

ABSTRACT

In this first paper, we start the analysis of correlation functions of quantum spin chains with general integrable boundary conditions. We initiate these computations for the open XXX spin 1/2 quantum chains with some unparallel magnetic fields allowing for a spectrum characterization in terms of homogeneous Baxter like TQ-equations, in the framework of the quantum separation of variables (SoV). Previous SoV analysis leads to the formula for the scalar products of the so-called separate states. Here, we solve the remaining fundamental steps allowing for the computation of correlation functions. In particular, we rederive the ground state density in the thermodynamic limit thanks to SoV approach, we compute the so-called boundary-bulk decomposition of boundary separate states and the action of local operators on these separate states in the case of unparallel boundary magnetic fields. These findings allow us to derive multiple integral formulae for these correlation functions similar to those previously known for the open XXX quantum spin chain with parallel magnetic fields.

연구 동기 및 목표

• 비대角, 비평행 경계 자석장이 작용하는 개방형 XXX 스핀-1/2 체인으로 상관 함수 계산을 확장하는 것.
• 비교교환 경계 행렬이 존재할 때 참조 상태가 없고 비자명한 경계 대수학이 존재하는 문제를 해결하는 것.
• 게이지 변환을 통해 비평행 및 평행 경계 필드 경우의 상관 함수 사이의 연결 고리를 설정하는 것.
• SoV와 TQ-방정식의 구조에 기반하여 가장 일반적인 비제약 비대각 경계 경우에 대한 상관 함수에 대한 완전한 해석적 프레임워크를 제공하는 것.

제안 방법

• 비균일 TQ-방정식에 추가 항을 포함한 양자 분리 변수법(SoV) 프레임워크를 사용하여 스펙트럼을 특성화한다.
• 경계-체계 분해를 유도하여 별개 상태에 대한 경계 상태의 분해를 가능하게 하며, 국소 연산자의 작용을 체계 유사 상태로 환원할 수 있도록 한다.
• 연산자 $ \Gamma_W $ 를 사용한 게이지 변환을 도입하여 총 $ \sigma^z $-연산자와 교환하는 준국소 연산자 $ \bar{E}_{1,m} $ 를 정의한다.
• SoV 기저에서 국소 연산자의 행렬 요소를 계산하기 위해 별개 상태의 스칼라 곱 공식을 적용한다.
• 특정 조건 하에서 비평행 및 평행 경계 경우 사이의 등스펙트럴리티를 활용하여 기존의 적분 공식을 이전할 수 있도록 한다.
• 전이 행렬의 함수적 관계와 해석적 성질을 사용하여 해의 완전성과 일관성을 확보한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비평행 경계 자석장이 작용하는 개방형 XXX 스핀-1/2 체인에서, 경계 행렬이 교환되지 않을 경우 상관 함수는 어떻게 계산할 수 있는가?
• RQ2 SoV 프레임워크에서 국소 연산자의 별개 상태에 대한 작용을 가능하게 하는 경계-체계 분해의 역할은 무엇인가?
• RQ3 비평행 경계 필드의 상관 함수는 게이지 변환을 통해 평행 경계 필드의 상관 함수와 어떻게 연결될 수 있는가?
• RQ4 변환된 기저에서 총 $ \sigma^z $-연산자와 교환하는 준국소 연산자의 구조는 어떠한가?
• RQ5 비평행 경우에서 동일한 TQ-방정식이 가능한 약속 하에서 열역학적 극한에서의 기저 상태 밀도는 어떻게 행동하는가?

주요 결과

• 비평행 경계 필드를 가진 개방형 XXX 스핀-1/2 체인의 상관 함수는 게이지 변환을 통해 평행 경계 경우의 상관 함수의 선형 조합로 표현된다.
• 별개 상태의 경계-체계 분해가 명시적으로 계산되었으며, 이는 국소 연산자의 작용이 체계 유사 상태로 환원될 수 있음을 가능하게 한다.
• 상관 함수의 기본 블록들이 $ \bar{E}_{1,m} $ 변환 하에서 동일함이 입증되었으며, 이는 총 $ \sigma^z $-연산자와 교환한다.
• 열역학적 극한에서의 기저 상태 밀도는 SoV 접근법을 사용하여 재유도되었으며, 기존 결과와 일치함을 확인하였다.
• 변환 후 국소 연산자의 별개 상태에 대한 작용은 순수하게 경계 별개 상태의 선형 조합으로 표현함으로써 계산되었다.
• 결과는 동일한 경계 필드를 가진 체인에서 유한한 사이트에서의 준국소 연산자의 상관 함수가 열역학적 극한에서 일치함을 확인하였으며, 이는 하나는 대각이고 다른 하나는 삼각형인 경우에도 성립한다.