[논문 리뷰] Allard-type boundary regularity for $C^{1,\alpha}$ boundaries

Theodora Bourni|arXiv (Cornell University)|2010. 08. 27.

Geometric Analysis and Curvature Flows참고 문헌 2인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 임의의 $\alpha \in (0,1]$에 대해 $C^{1,\bar{\alpha}}$ 경계를 가진 직선형 변형체에 대해 경계 단조성 공식을 수립한다. 이는 Allard의 경계 정규성 이론을 $C^{1,1}$ 경우를 초월하여 일반화한 것이다. 저자들은 경계로의 거리 함수의 윌슨 기반 매끄러운 근사법을 도입함으로써, 단조성 공식을 증명하고, $L^p$ 평균 곡률 유계 조건을 만족하는 경우에 대해 $p>k$ 이면 $C^{1,\gamma}$ 정규성 결과를 도출한다. 여기서 $\gamma = 1 - k/p$이며, Allard의 원래 정리가 덜 정규적인 경계로 일반화된다.

ABSTRACT

In this paper we show boundary monotonicity formulae for rectifiable varifolds having a $C^{1,\\alpha}$ "boundary". In particular, we show that the area ratios of balls centered at this "boundary'' satisfy a nice monotonicity formula, similar to that for interior balls (proved in Allard's paper "On the first variation of a varifold''). This extends the boundary monotonicity formulae of Allard (see "On the first variation of a varifold- boundary behavior''), which require that the boundary is $C^{1,1}$. As a corollary, Allard's boundary regularity results extend to this case and provide a regularity result for rectifiable varifolds with a $C^{1,\\alpha}$ ``boundary''.

연구 동기 및 목표

• Allard의 경계 정규성 정리가 $C^{1,1}$ 경계에서 $C^{1,\alpha}$ 경계로 $\alpha \in (0,1]$로 확장되는가를 다루는 것.
• 직선형 변형체에 대해 Allard의 내부 단조성과 유사한 경계 단조성 공식을 $C^{1,\alpha}$ 경계를 가진 경우에 수립하는 것.
• 경계가 $C^{1,\alpha}$일 경우 거리 함수 $\rho_0(x) = \operatorname{dist}(x,B)$의 미분 가능성 부족 문제를 해결하기 위해 윌슨 분할을 이용한 매끄러운 근사법을 구성하는 것.
• 평균 곡률이 $L^p$로 유계이면서 $p>k$인 조건 하에서 높이 기울기 추정과 정규성 결과를 도출함으로써 Allard의 $C^{1,1}$ 결과를 일반화하는 것.

제안 방법

• 공간 $\mathbb{R}^{n+k} \setminus B$ 에 대한 윌슨 분할을 도입하여, 거리 함수 $\rho_0(x) = \operatorname{dist}(x,B)$ 의 매끄러운 근사 함수 $\sigma(x)$ 를 정의한다. 이 근사는 $\rho_0$ 와 $C^{1,\alpha}$ 수준에서 유사하다.
• 윌슨 기반 거리 함수 $\sigma(x)$ 를 사용하여, $x$ 가 $C^{1,\alpha}$ 경계 $B$ 근처에 있을 때 $r$ 에 대해 감소하는 단조성 공식을 유도한다. 이 공식은 면적 비율 $\omega_k^{-1} r^{-k} \mu_V(B_r(x))$ 에 적용된다.
• 윌슨 근사의 정규성 덕분에 변형체의 첫 번째 변형이 경계에서만 아니라 전역적으로 국소적으로 유계임을 증명한다.
• 근접한 점 사영이 아닌 윌슨 거리 함수를 사용하여 높이 기울기 추정(정리 4.10)을 수립한다. 이 경우의 유계는 $C^{1,\alpha}$ 노름에 의존하며, $C^{1,1}$ 노름에 의존하는 경우와는 다르다.
• 모든 점이 경계 근처에 있는 구에 대해 Allard의 내부 정규성 기법을 적용한다. 새로운 단조성 공식과 높이 기울기 추정을 활용하여 $\gamma = 1 - k/p$ 인 $C^{1,\gamma}$ 정규성을 도출한다.
• 커버링 추론과 변형체의 탄젠트 평면 및 경계의 탄젠트 평면 간 비교 추정을 통해 탄젠트 번들의 허더르 연속성을 제어한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 Allard의 경계 단조성 공식과 정규성 정리는 $C^{1,1}$ 경계에서 $C^{1,\alpha}$ 경계로 $\alpha \in (0,1]$로 확장 가능한가?
• RQ2 어떻게 하면 $C^{1,\alpha}$ 경계에 대해 충분한 정규성을 유지하면서 단조성 공식 유도에 유용한 매끄러운 거리 유사 함수를 구성할 수 있는가?
• RQ3 경계가 $C^{1,\alpha}$ 이고 $\alpha < 1$ 일 경우, 가장 가까운 점 사영이 미분 가능하지 않기 때문에 경계 단조성과 정규성 결과 유도가 불가능한가?
• RQ4 $C^{1,\alpha}$ 경계일 때 $L^p$ 적분 가능성에 따라 평균 곡률이 주어졌을 때 변형체의 최적 허더르 지수 $\gamma$ 는 무엇인가?
• RQ5 Allard 이론의 높이 기울기 추정은 가장 가까운 점 사영 대신 윌슨 기반 거리 함수를 사용하여 재증명할 수 있는가? 이 경우의 유계는 $C^{1,\alpha}$-노름에 의존하는가?

주요 결과

• 이 논문은 $C^{1,\alpha}$ 경계를 가진 직선형 변형체에 대해 경계 단조성 공식을 수립한다. 이에 따라 $x$ 가 경계 근처에 있을 때 면적 비율 $\omega_k^{-1} r^{-k} \mu_V(B_r(x))$ 는 $r$ 에 대해 감소하는 단조성을 가진다.
• 윌슨 분할을 통해 구성된 새로운 매끄러운 거리 함수 $\sigma(x)$ 가 비미분 가능한 $\rho_0(x) = \operatorname{dist}(x,B)$ 를 대체함으로써, 단조성과 정규성 추정의 유도가 가능해진다.
• 경계에서의 정규성 조건 하에 변형체의 첫 번째 변형이 경계에서만 아니라 전역적으로 국소적으로 유계임을 증명한다.
• Allard의 레미네이션(레미네이션 4.5)에서의 높이 기울기 추정이 $C^{1,\alpha}$ 경계로 일반화되었으며, 이 경우의 유계는 $C^{1,1}$-노름이 아닌 $C^{1,\alpha}$-노름에 의존한다.
• 주요 정규성 결과(정리 4.4)는 $p>k$ 인 $L^p$ 평균 곡률 유계 조건 하에 변형체가 경계 근처에서 $C^{1,\gamma}$ 정규성을 가짐을 보여주며, $\gamma = 1 - k/p$ 이다. 이는 Allard의 $C^{1,1}$ 결과를 일반화한다.
• 변형체의 탄젠트 평면의 허더르 연속성이 정량화된다: $\|\operatorname{proj}_{T_xM} - \operatorname{proj}_{T_yM}\| \leq C \max\{\mu, \eta\} \max\{|x-y|^{1-k/p}, |x-y|^\alpha\}$, 여기서 $\mu, \eta$ 는 평균 곡률과 경계 정규성의 영향을 제어한다.