[논문 리뷰] Almost all primes satisfy the Atkin-Serre conjecture and are not extremal

Ayla Gafni, Jesse Thorner외 1명|arXiv (Cornell University)|2020. 03. 19.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 14인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 비-CM 성분을 가진 짝수 스키프 $k \geq 2$의 정수형 허무성 촉점 신형식에 대해, 100%의 소수가 Atkin-Serre 추측을 조건 없이 만족함을 증명한다. 반면, 최대 가능한 $|a_f(p)| = \lfloor 2p^{(k-1)/2} \rfloor$를 달성하는 극단적 소수(즉, 극단적 소수)는 0%에 불과하다. 증명은 Newton과 Thorne의 대칭 제곱 $L$-함수의 모듈랑드성과 Thorner의 효과적 경계에서 유도된, 명시적 오차 항을 포함한 효과적 Sato-Tate 정리에 기반하며, Atkin-Serre 하한과 극단성에 대한 예외 집합에 대한 효과적 상계를 도출한다.

ABSTRACT

Let $f(z)=\sum_{n=1}^{\infty} a_f(n)e^{2\pi i n z}$ be a non-CM holomorphic cupsidal newform of trivial nebentypus and even integral level $k\geq 2$. Deligne's proof of the Weil conjectures shows that $|a_f(p)|\leq 2p^{\frac{k-1}{2}}$ for all primes $p$. We prove for 100% of primes $p$ that $2p^{\frac{k-1}{2}}\frac{\log\log p}{\sqrt{\log p}}<|a_f(p)|<\lfloor 2p^{\frac{k-1}{2}} floor$. Our proof gives an effective upper bound for the size of the exceptional set. The lower bound shows that the Atkin-Serre conjecture is satisfied for 100% of primes, and the upper bound shows that $|a_f(p)|$ is as large as possible (i.e., $p$ is extremal for $f$) for 0% of primes. Our proofs use the effective form of the Sato-Tate conjecture proved by the second author, which relies on the recent proof of the automorphy of the symmetric powers of $f$ due to Newton and Thorne.

연구 동기 및 목표

• 비-CM 성분을 가진 짝수 스키프 $k \geq 2$의 정수형 허무성 촉점 신형식의 맥락에서, 거의 모든 소수에 대해 Atkin-Serre 추측을 조건 없이 증명하는 것.
• 소수 $p$ 중에서 $|a_f(p)| = \lfloor 2p^{(k-1)/2} \rfloor$를 만족하는 극단적 소수의 수에 대한 효과적 상계를 제공하여, 이러한 소수가 밀도가 0임을 보이는 것.
• 신형식의 대칭 제곱의 모듈랑드성에서 유도된 효과적 Sato-Tate 정리와 명시적 오차 항을 활용하여, 기존의 조건부 결과를 조건 없고 효과적인 상계로 강화하는 것.
• Murty, Murty, Saradha의 이전 결과를 확장하고 개선하여, 푸리에 계수의 예외 집합 크기에 대한 이론을 더욱 정교하게 다루는 것.

제안 방법

• Newton와 Thorne의 신형식의 대칭 제곱 $L$-함수의 모듈랑드성에 기반한, Thorner가 확립한 명시적 오차 항을 포함한 효과적 Sato-Tate 정리의 활용.
• Sato-Tate 측도 $\mu_{ST}$에 대한 $L^2([-1,1], \mu_{ST})$에서의 체비셰프 다항식 $\{U_n(t)\}$의 정규직교 기저를 사용하여 Sato-Tate 측도에서의 간격의 특성 함수를 근사하는 것.
• 부분 합과 지수 합 추정을 적용하여, $n \ll \sqrt{\log x / \log(kq \log x)}$인 경우에 $\left| \sum_{x < p \leq 2x} U_n(\cos \theta_p) \right|$의 크기를 효과적으로 상계하는 것.
• 이 상계를 활용하여, $|\cos \theta_p|$가 점점 작아지는 간격(Atkin-Serre에 대해) 또는 $\pm 1$에 가까운 간격(극단성에 대해)에 속하는 소수 $p$의 수를 추정하는 것.
• 작은 간격의 Sato-Tate 측도를 추정하기 위해 테일러 전개를 사용하고, 소수 정리와 결합하여 $\pi(2x) - \pi(x) \sim x / \log x$를 유도하는 것.
• 효과적 Sato-Tate 정리의 오차 항과 다항식 근사, 합 상계를 결합하여 예외 집합에 대한 효과적 상계를 유도하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비-CM 성분을 가진 짝수 스키프 $k \geq 2$의 신형식에 대해, 100%의 소수가 Atkin-Serre 추측을 만족하는가?
• RQ2 Atkin-Serre 추측에서 예측한 것과 같이 $|a_f(p)|$가 얼마나 작은지에 대해, 소수 $p$의 수에 대한 효과적 상계는 무엇인가?
• RQ3 극단적 소수(즉, $|a_f(p)| = \lfloor 2p^{(k-1)/2} \rfloor$를 만족하는 소수)는 유한 개 뿐인가?
• RQ4 효과적 Sato-Tate 정리를 사용하여, 신형식의 푸리에 계수에 대한 예외 집합 크기에 대한 조건 없고 효과적인 상계를 도출할 수 있는가?
• RQ5 소수 중에서 $|a_f(p)|$가 최대가 되는 비율은 얼마인가?

주요 결과

• 모든 비-CM 성분을 가진 짝수 스키프 $k \geq 2$의 정수형 허무성 촉점 신형식에 대해, $|a_f(p)| \leq 2p^{(k-1)/2} \cdot \frac{\log \log p}{\sqrt{\log p}}$를 만족하는 소수 $p$의 집합은 밀도가 0이며, $x \geq 3$일 때 효과적 상계 $c_1 \frac{x \log(kq \log x)}{(\log x)^{3/2}}$를 가진다.
• Atkin-Serre 추측 $|a_f(p)| \geq c_{\varepsilon,f} p^{(k-3)/2 - \varepsilon}$는 100%의 소수에 대해 조건 없이 성립하며, 효과적 예외 집합 크기를 가진다.
• 소수 $p$ 중에서 $x < p \leq 2x$ 범위에서 $|a_f(p)| = \lfloor 2p^{(k-1)/2} \rfloor$를 만족하는 극단적 소수의 수는 $x \geq 16$일 때 최대 $c_3 \frac{x (\log(kq \log x))^2}{(\log x)^2}$이며, 이는 이러한 소수가 밀도가 0임을 보여준다.
• Atkin-Serre 하한에 대한 예외 집합은 효과적으로 유계이며, 이 상계는 $k$, $q$, $x$에 대해 명시적으로 의존하며, $\log x$의 어떤 거듭제곱보다도 더 빠르게 감소한다.
• 증명은 극단적 소수가 매우 희귀하다는 것을 입증하며, 그 수가 $x$의 어떤 양의 거듭제곱보다도 느리게 증가함을 보여주어, 극단적 소수가 0%임을 확인한다.
• 결과는 조건 없고 효과적이며, Newton–Thorne의 대칭 제곱의 모듈랑드성과 Thorner의 효과적 Sato-Tate 정리에 기반하며, 명시적인 상수 $c_1, c_3 > 0$를 제공한다.