[논문 리뷰] Almost Automorphically and Almost Periodically Forced Circle Flows of Almost Periodic Parabolic Equations on S^1

Wenxian Shen, Yi Wang외 1명|arXiv (Cornell University)|2015. 07. 07.

Stability and Controllability of Differential Equations참고 문헌 22인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 원주 $S^1$ 위에서 거의 폴리오드릭 파라볼릭 방정식의 역학을 비틀림-곱 반유역을 통해 연구하며, 중심 공간 차원에 대한 제약 조건 하에서 최소 집합의 구조에 초점을 맞춘다. 최소 집합이 힐러 $H(f)$의 거의 1-덮개이거나 거의 아미노르픽/주기적 원주 유역에 임베딩될 수 있음을 입증하며, 히퍼볼릭, 선형 안정성, 대칭성의 경우에 핵심 결과를 도출한다.

ABSTRACT

We consider the skew-product semiflow which is generated by a scalar reaction-diffusion equation \begin{equation*} u_{t}=u_{xx}+f(t,u,u_{x}),\,\,t>0,\,x\in S^{1}=\mathbb{R}/2π\mathbb{Z}, \end{equation*} where $f$ is uniformly almost periodic in $t$. The structure of the minimal set $M$ is thoroughly investigated under the assumption that the center space $V^c(M)$ associated with $M$ is no more than $2$-dimensional. Such situation naturally occurs while, for instance, $M$ is hyperbolic or uniquely ergodic. It is shown in this paper that $M$ is a $1$-cover of the hull $H(f)$ provided that $M$ is hyperbolic (equivalently, ${ m dim}V^c(M)=0$). If ${ m dim}V^c(M)=1$ (resp. ${ m dim}V^c(M)=2$ with ${ m dim}V^u(M)$ being odd), then either $M$ is an almost $1$-cover of $H(f)$ and topologically conjugate to a minimal flow in $\mathbb{R} imes H(f)$; or $M$ can be (resp. residually) embedded into an almost periodically (resp. almost automorphically) forced circle-flow $S^1 imes H(f)$. When $f(t,u,u_x)=f(t,u,-u_x)$ (which includes the case $f=f(t,u)$), it is proved that any minimal set $M$ is an almost $1$-cover of $H(f)$. In particular, any hyperbolic minimal set $M$ is a $1$-cover of $H(f)$. Furthermore, if ${ m dim}V^c(M)=1$, then $M$ is either a $1$-cover of $H(f)$ or is topologically conjugate to a minimal flow in $\mathbb{R} imes H(f)$. For the general spatially-dependent nonlinearity $f=f(t,x,u,u_{x})$, we show that any stable or linearly stable minimal invariant set $M$ is residually embedded into $\mathbb{R}^2 imes H(f)$.

연구 동기 및 목표

• 일반적인 반응-확산 방정식이 거의 폴리오드릭 시간 의존성을 가지는 $S^1$ 위에서 최소 집합 $M$의 구조를 특성화하는 것.
• 최소 집합 $M$이 힐러 $H(f)$의 거의 1-덮개이거나 거의 아미노르픽/주기적 원주 유역에 임베딩될 수 있는 조건을 규명하는 것.
• 최소 집합의 위상적 및 역학적 구조를 결정하는 데 중심 공간 차원 $\dim V^c(M)$의 역할을 분석하는 것.
• $\mathbb{R}^2 \times H(f)$ 내에서 안정 또는 선형 안정 최소 집합에 대해 위상 동형 및 잔여 임베딩 결과를 수립하는 것.
• 공간 의존성이 있는 비자기적, 거의 폴리오드릭 설정으로 알려진 Poincaré-Bendixson 유형 결과를 확장하는 것.

제안 방법

• 분수 거듭제곱 공간 $X$와 거의 폴리오드릭 외력 $f$의 힐러 $H(f)$를 사용하여 $X \times H(f)$ 위에 비틀림-곱 반유역 $\Pi^t$를 구성한다.
• 시간 이동에 의해 최소이고 거리가 먼 흐름을 생성하기 위해 힐러 $H(f)$를 기저 공간으로 사용하며, 이는 컴팩트-오픈 위상을 갖는다.
• 선형화된 역학 이론과 리아프노프 지수를 적용하여 안정성을 분석하며, 특히 선형 안정 $M$에 대해 $\bar{\lambda}_M \leq 0$임을 보인다.
• 점 평가 사상 $\chi(v,g) = (v(x_0), v_x(x_0), g)$를 사용하여 $M \cap p^{-1}(Y_0)$를 $\mathbb{R}^2 \times Y_0$에 임베딩하며, 여기서 $Y_0 \subset H(f)$는 잔여 집합이다.
• $\chi$와 그 역함수의 단사성과 연속성을 이용하여 $M \cap p^{-1}(Y_0)$와 $\mathbb{R}^2 \times Y_0$ 위의 유역 사이의 위상 동형을 수립한다.
• 비교 원리와 샤투르 추정을 활용하여 해를 유계화하고 성장률을 통제함으로써, 리아프노프 지수를 비음성으로 이끌어낸다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 원주 $S^1$ 위에서 거의 폴리오드릭 파라볼릭 방정식에 대해 최소 집합 $M$이 힐러 $H(f)$의 거의 1-덮개가 되는 조건은 무엇인가?
• RQ2 중심 공간 $V^c(M)$의 차원이 $M$의 위상적 구조에 미치는 영향은 무엇인가?
• RQ3 최소 집합 $M$이 거의 아미노르픽 또는 거의 주기적 원주 유역 $S^1 \times H(f)$에 임베딩될 수 있는 조건은 무엇인가?
• RQ4 비선형성이 대칭일 경우, 즉 $f(t,x,u,u_x) = f(t,x,u,-u_x)$일 때 $M$의 역학적 구조는 어떻게 되는가?
• RQ5 안정 또는 선형 안정 최소 불변 집합은 잔여적으로 $\mathbb{R}^2 \times H(f)$에 임베딩될 수 있는가? 이는 그들의 역학에 어떤 함의를 갖는가?

주요 결과

• 만약 $\dim V^c(M) = 0$ (즉, $M$이 히퍼볼릭일 경우), $M$은 $H(f)$의 1-덮개이다.
• 만약 $\dim V^c(M) = 1$이면, $M$은 $H(f)$의 거의 1-덮개이거나 $\mathbb{R} \times H(f)$ 위의 최소 유역과 위상 동형이다.
• 만약 $\dim V^c(M) = 2$이고 $\dim V^u(M)$가 홀수이면, $M$은 $H(f)$의 거의 1-덮개이거나 거의 아미노르픽으로 강제된 원주 유역 $S^1 \times H(f)$에 잔여적으로 임베딩될 수 있다.
• 대칭 비선형성($f(t,x,u,u_x) = f(t,x,u,-u_x)$)의 경우, 모든 최소 집합 $M$은 $H(f)$의 거의 1-덮개이며, 히퍼볼릭 $M$은 1-덮개이다.
• 안정 또는 선형 안정 최소 불변 집합 $M$은 $\mathbb{R}^2 \times H(f)$에 잔여적으로 임베딩되며, $M$ 위의 유역은 $\mathbb{R}^2 \times H(f)$의 부분집합 위의 유역과 위상 동형이다.
• 최소 집합 $M$ 위의 상한 리아프노프 지수는 음이 아니며, 이는 $\dim V^c(M) \leq 2$일 때 선형 안정성을 확인한다.