[논문 리뷰] Almost contact metric structures defined by an $N$-prolonged connection

Sergey V. Galaev|arXiv (Cornell University)|2015. 06. 05.

Fixed Point Theorems Analysis참고 문헌 4인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 거의 접촉 미터릭 구조를 가진 기껏해야 홀수 차원 다양체에 대해 사사키 구성의 일반화로 $N$-연장된 접속을 도입한다. 내부 접속을 엔도모르피즘 $N$을 통해 확장함으로써 분포 $D$ 위에 새로운 거의 접촉 미터릭 구조를 정의하고, 비틀림이 없는 $N$-연장된 미터릭 접속의 존재성과 유일성을 증명한다. 핵심 결과는 연장된 구조가 거의 코나크티프(Almost K-contact)임과 동시에 원래의 구조가 코나크티프(K-contact)일 때이고, 거의 정규(Almost normal)임과 동시에 $D$의 쇼우텐 곡률 텐서가 영일 때이다.

ABSTRACT

On a manifold with an almost contact metric structure $(φ,\vecξ,η,g,X,D)$ the notions of the interior and the $N$-prolonged connections are introduced. Using the $N$-prolonged connection, a new almost contact metric structure is defined on the distribution $D$. The properties of this structure are studied.

연구 동기 및 목표

• 기껏해야 홀수 차원의 거의 접촉 미터릭 구조를 가진 다양체에 대해, 탄성다양체 위의 리만 미터릭에 대한 사사키 구성의 일반화를 목적으로 한다.
• 내부 접속과 엔도모르피즘 $N$을 사용하여 분포 $D$의 전체공간 위에 새로운 거의 접촉 미터릭 구조를 정의한다.
• 연장된 구조의 기하학적 성질, 특히 거의 접촉 및 코나크티프 특성에 대해 연구한다.
• 연장된 구조가 기저 구조로부터 정규성 또는 거의 정규성을 상속받는 조건을 조사한다.
• $N$-연장된 접속과 거의 접촉 미터릭 다양체 위의 알려진 접속 간의 관계를 명확히 한다.

제안 방법

• 벡들 $(D, \to, X)$ 위의 $N$-연장된 접속의 개념을 도입하며, 이는 내부 접속과 엔도모르피즘 $N: D \to D$에 의해 정의된다.
• Bejancu 접속 $\nabla^B$를 사용하여 $\nabla^N_{\vec{X}}\vec{Y} = \nabla^B_{\vec{X}}\vec{Y} + \eta(\vec{X})N\vec{Y}$로 $N$-접속을 정의한다.
• 연장된 거의 접촉 미터릭 구조를 $N$-연장된 접속을 사용하여 구성하며, 거의 복소 구조 $J$, 리브 벡터장 $\vec{u}$, 그리고 미터릭 $\tilde{g}$를 정의한다.
• 적응 좌표계에서 연장된 미터릭 $\tilde{g}$를 표현하며, $\tilde{g}(\vec{\epsilon}_a, \vec{\epsilon}_b) = g_{ab}$, $\tilde{g}(\partial_{n+a}, \partial_{n+b}) = g_{ab}$, 그리고 교차항은 0임을 나타낸다.
• 스콴텐 곡률 텐서와 엔도모르피즘 $N$을 이용해 $J$의 니엔후이스 토퍼션을 유도하며, $N_J(\vec{\epsilon}_a, \vec{\epsilon}_b) = -R^e_{abc}x^{n+c}\partial_{n+e}$임을 보인다.
• 리 도함수 $L_{\vec{u}}\tilde{g}$를 사용하여 코나크티프 성질을 분석하며, $L_{\vec{u}}\tilde{g} = 0$이 되는 것은 $\partial_n g_{ab} = 0$, $N^c_b = 0$, $P^c_{bd} = 0$임과 동치임을 보여준다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 언제 $N$-연장된 접속이 비틀림이 없는 미터릭 접속을 유도하는가?
• RQ2 언제 분포 $D$ 위의 연장된 거의 접촉 미터릭 구조가 거의 코나크티프인가?
• RQ3 연장된 구조의 거의 정규성과 기저 분포 $D$의 곡률 간의 관계는 무엇인가?
• RQ4 연장된 거의 복소 구조 $J$의 니엔후이스 토퍼션은 $D$의 쇼우텐 곡률 텐서와 어떻게 관련이 있는가?
• RQ5 다양체 $D$는 표준 사사키 미터릭을 가진 탄성다양체 $TX$에 등거리 임bedding될 수 있는가?

주요 결과

• 내부 접속과 엔도모르피즘 $N: D \to D$가 주어지면, $N$-연장된 접속은 존재하며 비틀림이 없는 미터릭 접속으로서 유일하다.
• 연장된 거의 접촉 미터릭 구조가 거의 코나크티프임과 동시에 원래의 구조가 코나크티프일 조건은 $\partial_n g_{ab} = 0$, $N^c_b = 0$, $P^c_{bd} = 0$임을 필요로 한다.
• 연장된 구조가 거의 정규임과 동시에 $D$의 쇼우텐 곡률 텐서가 영일 때이다. 이는 니엔후이스 토퍼션 $N_J$의 영함으로서 증명된다.
• 연장된 구조의 기본 형식 $\tilde{\omega} = d\lambda$는 $\tilde{\omega}_{ab} = \omega_{ab}$를 만족하므로 $\text{rk}\tilde{\omega} = \frac{n-1}{2}$이며, 이는 접촉 형식이 아님을 시사한다.
• 연장된 구조는 표준 사사키 미터릭을 가진 사사키 다양체 $TX$에 등거리 임베딩될 수 없다. 이는 $L_{\vec{u}}\tilde{g}$의 비영인 성분들로 인해 증명된다.
• 일반적으로 $J$의 니엔후이스 토퍼션은 0이 아니며, $N_J(\vec{\epsilon}_a, \vec{\epsilon}_b) = -R^e_{abc}x^{n+c}\partial_{n+e}$로 표현되며, 이는 곡률가 영이 아닐 경우 구조가 적분 가능하지 않음을 나타낸다.