[논문 리뷰] Almost Envy-Free Allocations with Connected Bundles

Vittorio Bilò, Ioannis Caragiannis외 6명|arXiv (Cornell University)|2019. 01. 01.

Law, Economics, and Judicial Systems인용 수 52

한 줄 요약

이 논문은 각 에이전트가 연결된 번들(connected bundle)을 받아야 하는 경로 상의 불가분 물품의 공정 배분을 연구한다. 두 명에서 네 명의 에이전트에 대해 이산적 이동 칼 기법과 슈퍼너의 보조 정리 기법의 이산적 유사 기법을 사용하여 연결된 EF1(한 개의 물품을 고려할 때의 공정성) 배분의 존재를 증명하며, 다섯 명 이상의 에이전트에 대해서는 EF2 배분의 존재를 보인다. 동일한 평가를 가진 경우, 다항시간 알고리즘을 통해 EF1 배분을 계산할 수 있다.

ABSTRACT

We study the existence of allocations of indivisible goods that are envy-free up to one good (EF1), under the additional constraint that each bundle needs to be connected in an underlying item graph G. When the items are arranged in a path, we show that EF1 allocations are guaranteed to exist for arbitrary monotonic utility functions over bundles, provided that either there are at most four agents, or there are any number of agents but they all have identical utility functions. Our existence proofs are based on classical arguments from the divisible cake-cutting setting, and involve discrete analogues of cut-and-choose, of Stromquist's moving-knife protocol, and of the Su-Simmons argument based on Sperner's lemma. Sperner's lemma can also be used to show that on a path, an EF2 allocation exists for any number of agents. Except for the results using Sperner's lemma, all of our procedures can be implemented by efficient algorithms. Our positive results for paths imply the existence of connected EF1 or EF2 allocations whenever G is traceable, i.e., contains a Hamiltonian path. For the case of two agents, we completely characterize the class of graphs G that guarantee the existence of EF1 allocations as the class of graphs whose biconnected components are arranged in a path. This class is strictly larger than the class of traceable graphs; one can check in linear time whether a graph belongs to this class, and if so return an EF1 allocation.

연구 동기 및 목표

• 불가분 물품 배분에서 연결성 제약 조건 하에 '선호 없음(1개의 물품을 제외한 공정성, EF1)' 배분의 존재를 확립하는 것.
• 이동 칼 기법과 슈퍼너의 보조 정리와 같은 케이크 컷팅 공정성 개념을 이산적이고 연결된 환경으로 확장하는 것.
• 두 명의 에이전트에 대해 EF1 배분을 보장하는 그래프를 특성화하며, 이는 이분기둥 성분이 경로로 배열되어 있음을 필수적이고 충분한 조건로 규명하는 것.
• 에이전트의 평가가 동일할 경우 EF1 배분을 계산하는 다항시간 알고리즘을 개발하는 것.
• 연결된 공정 배분에서의 계산 복잡도와 전략적 비례성의 한계를 탐색하는 것.

제안 방법

• 두 명과 세 명의 에이전트에 대해 스트로미쿠스의 이동 칼 프로토콜의 이산적 유사 기법을 사용하여 EF1 배분을 달성한다.
• 연결된 분할의 단순체를 삼등분하여 슈퍼너의 보조 정리를 적용함으로써 네 명의 에이전트에 대한 EF1 배분의 존재를 증명한다.
• 높은 수의 에이전트 환경에서 EF2 배분을 위해 슈퍼너의 보조 정리에 영감을 받은 경로 추적 알고리즘을 활용한다.
• 두 명의 에이전트에 대한 EF1 프로토콜에서 '불규칙한 연결'의 개념을 도입하여, 에이전트가 번들이 한 개의 물품을 제외하고 동일한 가치를 가질 때 신호를 보내도록 한다.
• 균형 복지 최적화 및 외부 물품 재배치를 통해 동일한 평가를 가진 경우 EF1 배분을 O(mn) 시간 내에 계산하는 다항시간 알고리즘을 개발한다.
• 금지된 부분그래프 특성 분석을 통해 두 명의 에이전트에 대해 EF1 배분을 보장하는 모든 그래프를 규명하며, 이는 이분기둥 성분이 경로로 배열되어 있음을 기반으로 한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 경로 상의 네 명 이상의 에이전트에 대해 연결된 번들로 EF1 배분이 존재하는가?
• RQ2 이동 칼 기법과 슈퍼너의 보조 정리와 같은 연속적 공정 배분 프로토콜의 이산적 버전을 사용하여 불가분 환경에서 EF1 배분을 구성할 수 있는가?
• RQ3 어떤 그래프가 두 명의 에이전트에 대해 연결된 번들로 EF1 배분의 존재를 보장하는가?
• RQ4 에이전트의 평가가 동일하고 물품이 경로 상에 있을 경우 EF1 배분을 계산하는 다항시간 알고리즘이 존재하는가?
• RQ5 연결된, EF1 기반의 배분에서 전략적 비례성 메커니즘이 존재할 수 있는가?

주요 결과

• 이산적 이동 칼 기법과 슈퍼너의 보조 정리 기법을 사용하여 경로 상의 최대 네 명의 에이전트에 대해 연결된 EF1 배분의 존재가 입증된다.
• 다섯 명 이상의 에이전트에 대해서는 슈퍼너의 보조 정리를 사용하여 EF2 배분의 존재가 입증되며, 이는 이전 결과를 강화한다.
• 모든 에이전트가 동일한 평가를 가진 경우, 다항시간 알고리즘을 통해 O(mn) 시간 내에 EF1 배분을 계산할 수 있다.
• 두 명의 에이전트에 대해 EF1 배분을 보장하는 그래프의 집합은 정확히 이분기둥 성분이 경로로 배열되어 있는 그래프들로 구성되며, 이는 선형 시간 내에 확인 가능하다.
• 연결된 배분에 대해 전략적 비례성 EF1 메커니즘은 존재하지 않으며, 이는 두 명의 에이전트와 경로 상 다섯 개의 물품에 대해서도 마찬가지다.
• 다섯 명 이상의 에이전트에 대해 경로 상 EF1 배분의 존재는 여전히 열린 문제로 남아 있다.