[논문 리뷰] Almost Gorenstein Rees algebras of $p_g$-ideals, good ideals, and powers of the maximal ideals

Shirô Gotô, Naoyuki Matsuoka외 2명|arXiv (Cornell University)|2016. 07. 20.

Commutative Algebra and Its Applications참고 문헌 11인용 수 10

한 줄 요약

이 논문은 코hen-맥컬레이 국소환의 특정 이상들 $I$에 대한 Rees 대수 $Χ(I)$가 거의 고크린스타인임을 증명한다. 이는 두 차원의 고크린스타인 정규 도메인에서의 $p_g$-이상, 최소 다중도를 가진 거의 고크린스타인 환에서의 최대 이상의 거듭제곱, 그리고 차원 $d \geq 2$인 정칙 국소환에서의 $\mathfrak{m}^{d-1}$을 포함한다. 주요 기여는 역방향 결과이다: 만약 $\ell \geq 2$ 및 $d \geq 3$일 때 $\mathcal{R}(\mathfrak{m}^\ell)$가 거의 고크린스타인이라면, 반드시 $\ell = d-1$이어야 한다.

ABSTRACT

Let $(A,{\mathfrak m})$ be a Cohen-Macaulay local ring and let $I$ be an ideal of $A$. We prove that the Rees algebra ${\mathcal R}(I)$ is an almost Gorenstein ring in the following cases: (1) $(A,{\mathfrak m})$ is a two-dimensional excellent Gorenstein normal domain over an algebraically closed field $K \cong A/{\mathfrak m}$ and $I$ is a $p_g$-ideal; (2) $(A,{\mathfrak m})$ is a two-dimensional almost Gorenstein local ring having minimal multiplicity and $I={\mathfrak m}^{\ell}$ for all $\ell \ge 1$; (3) $(A,{\mathfrak m})$ is a regular local ring of dimension $d \ge 2$ and $I={\mathfrak m}^{d-1}$. Conversely, if ${\mathcal R}({\mathfrak m}^{\ell})$ is an almost Gorenstein graded ring for some $\ell \ge 2$ and $d \ge 3$, then $\ell=d-1$.

연구 동기 및 목표

• 두 차원의 정칙 국소환에서 $\mathfrak{m}$-primary이고 정수적으로 닫힌 이상의 Rees 대수가 거의 고크린스타인임이 알려진 결과를 더 넓은 범위의 환과 이상으로 확장한다.
• 특정 조건 하에서 $p_g$-이상, 양호한 이상, 최대 이상의 거듭제곱의 Rees 대수가 거의 고크린스타인 그레이드 환인지 조사한다.
• 특히 정칙 국소환에서 $\mathcal{R}(\mathfrak{m}^\ell)$가 거의 고크린스타인인 정확한 조건을 규명한다.
• 역방향 결과를 확립한다: 만약 $\mathcal{R}(\mathfrak{m}^\ell)$가 $\ell \geq 2$ 및 $d \geq 3$일 때 거의 고크린스타인이라면, 반드시 $\ell = d-1$이어야 한다.

제안 방법

• 짧은 추측열 $0 \to R \to \mathrm{K}_R(-a) \to C \to 0$을 통한 거의 고크린스타인 그레이드 환의 정의를 활용하며, 여기서 $C$는 $\mu_R(C) = \mathrm{e}_\mathfrak{M}^0(C)$를 만족하는 Ulrich 모듈이다.
• 대부분 대수적으로 닫힌 체 위의 두 차원 우월 고크린스타인 정규 국소환에서의 $p_g$-이상 이론을 적용하여 $\mathcal{R}(I)$가 거의 고크린스타인임을 보인다.
• 차원 $d \geq 2$인 정칙 국소환에서 $\mathcal{R}(\mathfrak{m}^\ell)$의 구조를 분석하고, $a$-정수와 캐논리컬 모듈을 명시적으로 계산한다.
• 이항계수를 포함한 조합적 항등식을 활용하여 $\mathcal{R}(\mathfrak{m}^\ell)$의 경우에 있어 다중도 $\mathrm{e}_\mathfrak{M}^0(C)$와 생성자 수 $\mu_R(C)$를 비교한다.
• 조건이 만족될 경우 $\mathcal{R}(\mathfrak{m}^\ell)_{\mathfrak{M}}$이 거의 고크린스타인 국소환임과 $\mathcal{R}(\mathfrak{m}^\ell)$이 거의 고크린스타인 그레이드 환임이 동치임을 이용한다.
• 정칙 국소환에서 차원 $d \geq 3$일 때 $\mathcal{R}(Q)$가 거의 고크린스타인 그레이드 환이 되기 위한 필요충분조건이 $Q = \mathfrak{m}$임을 응용하여 역방향 결과를 도출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 두 차원의 우월 고크린스타인 정규 국소환에서 $p_g$-이상 $I$의 Rees 대수 $\mathcal{R}(I)$가 거의 고크린스타인일 조건은 무엇인가?
• RQ2 두 차원의 최소 다중도를 가진 거의 고크린스타인 국소환에서 $\ell \geq 1$일 때 $\mathcal{R}(\mathfrak{m}^\ell)$가 거의 고크린스타인일 조건은 무엇인가?
• RQ3 차원 $d \geq 2$인 정칙 국소환 $(A,\mathfrak{m})$에서 $\mathcal{R}(\mathfrak{m}^{d-1})$가 거의 고크린스타인 그레이드 환이 되는 조건은 무엇인가?
• RQ4 $\ell \geq 2$ 및 $d \geq 3$일 때 $\mathcal{R}(\mathfrak{m}^\ell)$가 거의 고크린스타인이라면, 반드시 $\ell = d - 1$이어야 하는가?
• RQ5 Rees 대수 $\mathcal{R}(\mathfrak{m}^\ell)$의 거의 고크린스타인 추측열에서 cokernel $C$의 Ulrich 모듈 조건과 다중도 사이의 관계는 무엇인가?

주요 결과

• $(A,\mathfrak{m})$가 대수적으로 닫힌 체 위의 두 차원의 우월 고크린스타인 정규 도메인이고, $I$가 $p_g$-이상이라면 Rees 대수 $\mathcal{R}(I)$는 거의 고크린스타인 그레이드이다.
• $(A,\mathfrak{m})$가 최소 다중도를 가진 두 차원의 거의 고크린스타인 국소환이고, $I = \mathfrak{m}^\ell$ ($\ell \geq 1$)라면 $\mathcal{R}(I)$는 거의 고크린스타인 그레이드이다.
• 차원 $d \geq 2$인 정칙 국소환 $(A,\mathfrak{m})$에서 Rees 대수 $\mathcal{R}(\mathfrak{m}^{d-1})$는 거의 고크린스타인 그레이드이다.
• 반대로, $\ell \geq 2$ 및 $d \geq 3$일 때 $\mathcal{R}(\mathfrak{m}^\ell)$가 거의 고크린스타인 그레이드라면, 반드시 $\ell = d - 1$이어야 한다.
• $\ell \neq d - 1$인 경우, 정의되는 추측열의 cokernel $C$에 대해 $\mathrm{e}_\mathfrak{M}^0(C) > \mu_\mathcal{R}(C)$이므로 Rees 대수 $\mathcal{R}(\mathfrak{m}^\ell)$는 거의 고크린스타인 그레이드가 아니다.
• $\ell \neq d - 1$일 때, cokernel $C$의 다중도 $\mathrm{e}_\mathfrak{M}^0(C)$는 $\mathrm{e}_\mathfrak{M}^0(C) \geq \ell^d$를 만족하며, 이는 $\mu_\mathcal{R}(C) \leq b < \frac{d-1}{\ell}$일 때를 초과한다.