[논문 리뷰] Almost Optimal Streaming Algorithms for Coverage Problems

MohammadHossein Bateni, Hossein Esfandiari외 1명|arXiv (Cornell University)|2016. 10. 25.

Complexity and Algorithms in Graphs참고 문헌 26인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 엣지 도착 모델에서 최대 커버리지 및 최소 집합 커버 문제에 대해 거의 최적의 스트리밍 알고리즘을 제안하며, 집합 또는 원소의 크기에 관계없이 Õ(n) 공간에서 (1−ε)α-근사값을 달성할 수 있는 새로운 스케칭 기법을 사용한다. 이 접근법은 이전 연구에서 요구하던 오라클 액세스 가정을 제거하고 더 현실적인 스트리밍 환경에서 거의 최적의 근사 비율과 공간 복잡도를 달성한다.

ABSTRACT

Maximum coverage and minimum set cover problems --collectively called coverage problems-- have been studied extensively in streaming models. However, previous research not only achieve sub-optimal approximation factors and space complexities, but also study a restricted set arrival model which makes an explicit or implicit assumption on oracle access to the sets, ignoring the complexity of reading and storing the whole set at once. In this paper, we address the above shortcomings, and present algorithms with improved approximation factor and improved space complexity, and prove that our results are almost tight. Moreover, unlike most of previous work, our results hold on a more general edge arrival model. More specifically, we present (almost) optimal approximation algorithms for maximum coverage and minimum set cover problems in the streaming model with an (almost) optimal space complexity of $ ilde{O}(n)$, i.e., the space is {\em independent of the size of the sets or the size of the ground set of elements}. These results not only improve over the best known algorithms for the set arrival model, but also are the first such algorithms for the more powerful {\em edge arrival} model. In order to achieve the above results, we introduce a new general sketching technique for coverage functions: This sketching scheme can be applied to convert an $α$-approximation algorithm for a coverage problem to a $(1-\eps)α$-approximation algorithm for the same problem in streaming, or RAM models. We show the significance of our sketching technique by ruling out the possibility of solving coverage problems via accessing (as a black box) a $(1 \pm \eps)$-approximate oracle (e.g., a sketch function) that estimates the coverage function on any subfamily of the sets.

연구 동기 및 목표

• 큰 집합을 읽거나 저장하는 데 드는 비용을 忽시하는 오라클에 전체 집합에 액세스하는 데 의존하는 이전 스트리밍 알고리즘의 한계를 해결한다.
• 집합이 단위로 도착하는 것이 아니라, 집합-원소 소속 관계가 하나씩 도착하는 더 일반적인 엣지 도착 모델에서 작동하는 알고리즘을 개발한다.
• 최대 커버리지 및 최소 집합 커버 문제 모두에 대해 거의 최적의 근사 비율과 공간 복잡도(Õ(n))를 달성한다.
• 기본적인 스케칭 기법과 커버리지 함수에 대한 노이즈가 있는 오라클 추정기의 액세스가 좋은 근사값을 달성하는 데 부족하다는 것을 입증한다.
• 유리한 가정 하에 조차도 제안된 공간 복잡도가 거의 타이트함을 보여주어 이론적 한계를 설정한다.

제안 방법

• 모든 α-근사 온라인 알고리즘을 (1−ε)α-근사 스트리밍 알고리즘으로 변환할 수 있는 새로운 일반적인 스케칭 기법을 도입한다.
• 이 스케칭 기법을 사용하여 스트리밍 방식으로 집합 가족의 압축된 요약을 유지함으로써 전체 집합을 저장하지 않고도 공간 효율적인 계산을 가능하게 한다.
• 반복적으로 커버된 원소를 제거하고 잔여 그래프에 대해 스케칭 알고리즘을 적용하는 재귀적이고 다중 패assing 스트리밍 프레임워크를 적용한다.
• 스케칭 기반 선택과 잔여 미커버드 원소에 대한 최종 그레디 패assing을 조합하여 일정 요소 근사 비율을 보장한다.
• 매번 패assing 동안 미커버드 원소의 수를 점진적으로 줄이기 위해 매개변수화된 임계값(λ)을 통한 계층적 분해를 사용한다.
• 전체 공간 복잡도가 Õ(n/λ³)임을 증명하고, r번의 패assing을 거치면 총 공간 복잡도가 Õ(nm^{O(1/r)})가 되며, 이는 m에 대해 선형 이하이며 거의 최적이다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 오라클에 전체 집합에 액세스할 수 있는 가정 없이도, 거의 최적의 근사 비율을 달성하는 커버리지 문제의 스트리밍 알고리즘을 설계할 수 있는가?
• RQ2 집합의 크기나 기저 집합의 크기에 관계없이 엣지 도착 모델에서 Õ(n) 공간 복잡도를 달성할 수 있는가?
• RQ3 모든 온라인 α-근사 알고리즘을 (1−ε)α-근사 스트리밍 알고리즘으로 변환할 수 있는 일반적인 스케칭 기법을 만들 수 있는가?
• RQ4 기본적인 스케칭 기법이 커버리지 문제에서 실패하는 이유는 무엇이며, 커버리지 함수의 어떤 구조적 특성이 스케칭을 어렵게 하는가?
• RQ5 (1±ε)-근사 오라클을 커버리지 함수에 액세스하는 것으로도 좋은 스트리밍 근사값을 달성할 수 있는가?

주요 결과

• 제안된 알고리즘은 Õ(nm^{O(1/r)}) 공간을 사용하여 확률 1−1/n로 집합 커버 문제에 대해 (1+ε)log m-근사값을 달성한다.
• 공간 복잡도는 집합의 크기나 기저 집합의 크기에 관계없이 Õ(n)이며, 거의 최적이고 대규모 입력에 대해 확장 가능하다.
• 이 알고리즘은 집합-원소 소속 관계가 임의의 순서로 도착하는 더 현실적인 엣지 도착 모델에서 작동하며, 이전 연구가 집합 도착 모델에 국한된 것과는 다르다.
• 스케칭 기법을 통해 어떤 α-근사 온라인 알고리즘에도 (1−ε)α-근사값을 제공할 수 있으며, 스트리밍 커버리지 문제에 대한 일반적인 프레임워크를 제공한다.
• 논문은 커버리지 함수에 대한 (1±ε)-근사 오라클 액세스가 좋은 스트리밍 근사값을 달성하는 데 부족하다는 것을 증명하며, 기본 스케칭의 한계를 부각한다.
• 공간 복잡도는 거의 타이트하다: 표준 가정 하에 엣지 도착 모델에서 일정 요소 근사값을 달성하는 데 Õ(n) 공간 이하의 알고리즘이 존재할 수 없다.