[논문 리뷰] Almost sure central limit theorems for random ratios and applications to LSE for fractional Ornstein-Uhlenbeck processes

Peggy Cénac, Khalifa Es-Sebaiy|arXiv (Cornell University)|2012. 09. 01.

Probability and Risk Models참고 문헌 17인용 수 20

한 줄 요약

이 논문은 분모가 거의 확실히 1로 수렴하고 분자에 해당하는 확률적 비율이 거의 확실히 중심극한정리(ASCLT)를 만족할 경우, 이에 대한 거의 확실히 중심극한정리(ASCLT)를 수립한다. 이 결과를 활용하여 허스트 매개수 $ H \in (1/2, 3/4) $ 인 분수 오르누이하임-우울러프 과정에서의 최소제곱추정량(LSE)에 대한 ASCLT를 증명한다. 이는 연속 관측 및 이산 관측 모두에 적용된다.

ABSTRACT

We investigate an almost sure limit theorem (ASCLT) for sequences of random variables having the form of a ratio of two terms such that the numerator satisfies the ASCLT and the denominator is a positive term which converges almost surely to 1. This result leads to the ASCLT for least square estimators for Ornstein-Uhlenbeck process driven by fractional Brownian motion.

연구 동기 및 목표

• 분자에 해당하는 수열이 ASCLT를 만족하고 분모가 거의 확실히 1로 수렴할 경우, 임의의 확률적 비율 수열에 대한 일반적인 거의 확실히 중심극한정리(ASCLT)를 수립하는 것.
• 이 일반적 결과를 활용하여 분수 브라운 운동에 의해 구동되는 에르고딕한 분수 오르누이하임-우울러프 과정에서의 최소제곱추정량(LSE)에 대한 ASCLT를 도출하는 것.
• 과정이 등간격 시간에 따라 관측될 경우, 이산 시간 LSE $ \widetilde{\theta}_n $ 의 강한 일致성(즉, $ \theta $ 로 거의 확실히 수렴함)을 증명하는 것.
• 다양한 샘플링 체계 하에서 LSE의 점근적 행동을 분석하고, $ H \in (1/2, 3/4) $ 인 경우에 대해 정규분포로 수렴함을 보이는 것.
• 이산 케이스에서 ASCLT를 위해 필요한 조건을 검증하기 위해 말리아빈 미분법과 다중 스토크라스틱 적분을 사용하는 것.

제안 방법

• 분자 $ \{G_n\} $ 가 ASCLT를 만족하고 $ R_n \to 1 $ 이 거의 확실히 성립하는 비율 $ G_n / R_n $ 에 대한 일반적인 ASCLT 를 개발하는 것.
• 이산 케이스에서 $ G_n $ 의 조건을 검증하기 위해 말리아빈 미분법과 특성함수 수렴을 통한 ASCLT 특성화를 사용하는 것.
• 추정 오차 $ \theta - \widetilde{\theta}_n $ 을 세 개의 항으로 분해: $ J_1(n), J_2(n), J_3(n) $, 각각 이산화 오차, 이토 보정, 스토크라스틱 적분 성분을 나타냄.
• 횔더 부등식과 코시-슈바르츠 부등식을 적용하여 $ J_1(n), J_2(n), J_3(n) $ 의 $ L^p $-노름을 유계화하고, 이들이 거의 확실히 0으로 수렴함을 보이는 것.
• $ \overline{R}_n \to 1 $ 이 거의 확실히 성립하고 $ \overline{G}_n $ 에 대해 ASCLT 가 성립함을 이용하여, 이에 대응하는 정규화된 추정 오차인 비율 $ \overline{G}_n / \overline{R}_n $ 에 대해서도 ASCLT 를 유도하는 것.
• 정리 3과 보조정리 9 를 활용하여, 정규화된 스토크라스틱 적분 항 $ \sqrt{T_n / \mathbb{E}(F_{T_n}^2)} J_3(n) $ 가 ASCLT 를 만족함을 보이고, 증명을 완료하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 분자 $ G_n $ 이 ASCLT 를 만족하고 분모 $ R_n \to 1 $ 이 거의 확실히 성립할 경우, 수열 $ G_n / R_n $ 이 거의 확실히 중심극한정리(ASCLT)를 만족하는 조건은 무엇인가?
• RQ2 허스트 매개수 $ H \in (1/2, 3/4) $ 인 분수 오르누이하임-우울러프 과정에서의 드리프트 매개수 $ \theta $ 에 대한 최소제곱추정량(LSE)이 거의 확실히 중심극한정리(ASCLT)를 만족하는가?
• RQ3 과정이 등간격 시간에 따라 관측될 경우, 이산 시간 LSE $ \widetilde{\theta}_n $ 이 강한 일치성(즉, $ \theta $ 로 거의 확실히 수렴함)을 가지는가?
• RQ4 이산 케이스에서 정규화된 추정 오차 $ \sqrt{T_n / \sigma_{T_n}^2} (\theta - \widetilde{\theta}_n) $ 의 점근적 분포는 무엇인가?
• RQ5 Malliavin 미분법과 추정 오차를 스토크라스틱 성분으로 분해하여 LSE 에 대한 ASCLT 를 수립할 수 있는가?

주요 결과

• 논문은 분자 $ G_n $ 이 ASCLT 를 만족하고 분모 $ R_n \to 1 $ 이 거의 확실히 수렴할 경우, 이에 대한 일반적인 ASCLT 를 수립하였으며, 이는 핵심적인 기술적 도구이다.
• 연속 관측에 대한 LSE $ \widehat{\theta}_t $ 에서, $ H \in (1/2, 3/4) $ 일 경우 수열 $ \sqrt{n}(\theta - \widehat{\theta}_n) $ 이 ASCLT 를 만족함을 제8정리에서 보였다.
• 이산 시간 LSE $ \widetilde{\theta}_n $ 은 강한 일치성을 가진다: $ \widetilde{\theta}_n \to \theta $ 이 거의 확실히 성립하며, 이는 제10정리에서 증명되었다.
• 이산 케이스에서 $ H \in (1/2, 3/4) $ 일 경우, 정규화된 추정 오차 $ \frac{\sqrt{T_n}}{\sigma_{T_n}}(\theta - \widetilde{\theta}_n) $ 가 ASCLT 를 만족함을 제11정리에서 언급하였다.
• 증명은 추정 오차를 세 성분 $ J_1(n), J_2(n), J_3(n) $ 로 분해하고, 각 성분이 $ L^p $-노름 유계화 및 보조정리 9 를 통해 거의 확실히 0으로 수렴함을 보여 이뤄졌다.
• 정규화된 스토크라스틱 적분 항 $ \sqrt{T_n / \mathbb{E}(F_{T_n}^2)} J_3(n) $ 는 정리 3 과 정리 7 의 조건 (11) 및 (12) 의 검증을 통해 ASCLT 를 만족함을 보였다.