[논문 리뷰] Almost-sure exponential mixing of passive scalars by the stochastic Navier-Stokes equations

Jacob Bedrossian, Alex Blumenthal외 1명|arXiv (Cornell University)|2019. 05. 09.

Stochastic processes and financial applications인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 토러스 위에서 비가역적 2차원 및 3차원 초점성 점성유체역학 방정식의 확률적 외력에 의해 유도되는 유체 흐름에서 수체의 거의 확실한 지수혼합을 확립한다. 비퇴도성 $ H^\sigma $-정규성 노이즈를 사용할 때 충분히 큰 $ \sigma $ 에 대해, 이는 기하학적 에르고딕성과 날개형 마르코프 반군의 스펙트럼 갭 분석을 통해 이루어지며, 모든 평균이 0인 $ H^s $ 수체가 거의 확실하게 $ H^{-s} $-노름에서 결정론적 속도로 지수적으로 감쇠됨을 증명한다. 이는 고정된 상관관계 감쇠를 확인한다.

ABSTRACT

We deduce almost-sure exponentially fast mixing of passive scalars advected by solutions of the stochastically-forced 2D Navier-Stokes equations and 3D hyper-viscous Navier-Stokes equations in $\mathbb T^d$ subjected to non-denegenerate $H^σ$-regular noise for any $σ$ sufficiently large. That is, for all $s > 0$ there is a deterministic exponential decay rate such that all mean-zero $H^s$ passive scalars decay in $H^{-s}$ at this same rate with probability one. This is equivalent to what is known as \emph{quenched correlation decay} for the Lagrangian flow in the dynamical systems literature. This is a follow-up to our previous work, which establishes a positive Lyapunov exponent for the Lagrangian flow-- in general, almost-sure exponential mixing is much stronger than this. Our methods also apply to velocity fields evolving according to finite-dimensional fluid models, for example Galerkin truncations of Navier-Stokes or the Stokes equations with very degenerate forcing. For all $0 \leq k < \infty $ we exhibit many examples of $C^k_t C^\infty_x$ random velocity fields that are almost-sure exponentially fast mixers.

연구 동기 및 목표

• 확률적 나비에-스토크스 방정식에 의해 유도되는 유체 흐름에서 수체의 거의 확실한 지수혼합을 확립하는 것.
• 이전의 양의 리아프누프 지수 결과를 더 강력한 고정된 상관관계 감쇠(지수혼합)로 확장하는 것.
• 무한차원 유체모델에서 비퇴도성 $ H^\sigma $-정규성 노이즈 하에서 수체의 혼합 행동을 분석하는 것.
• 혼합 속도가 거의 모든 노이즈 경로에 대해 결정론적이며 일관되게 유계임을 보이는 것.
• 갈레르킨 절단을 통한 유체 모델과 같은 유한차원 모델로 이 틀을 확장하는 것, 특히 퇴도성 강제력이 있는 나비에-스토크스 및 스토크스 방정식에 대해.

제안 방법

• 유체 흐름 하에서 입자 쌍의 진동을 모델링하기 위해 두 점 Lagrangian 운동을 사용하여 상관관계 감쇠를 분석한다.
• 강한 Feller 성질과 기약성 조건을 확인하여 두 점 과정에 기하학적 에르고딕성 이론을 적용한다.
• 마르코프 과정의 기하학적 에르고딕성을 확인하기 위해 라플라스 함수 $ \mathcal{V} $ 를 구성한다.
• Lasota-Yorke 추정을 사용하여 프로젝티브 과정에서 스펙트럼 갭을 확립하고, 상관관계의 지수감쇠를 가능하게 한다.
• 연속 시간에서 상관관계 감쇠 추정을 유도하기 위해 흐름과 관련된 날개형 마르코프 반군을 분석한다.
• 그로나발의 부등식과 흐름의 자코비안에 대한 모멘트 추정을 사용하여 랜덤 동역계 하에서 노름의 성장을 통제한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 확률적 외력이 작용하는 2차원 나비에-스토크스 방정식에 의해 생성된 Lagrangian 흐름에서 수체의 거의 확실한 지수혼합이 발생하는가?
• RQ2 비산란성 조건이 없을 때 비퇴도성 $ H^\sigma $-정규성 노이즈 하에서 수체에 대해 고정된 상관관계 감쇠를 확립할 수 있는가?
• RQ3 이전 연구에서 도출된 양의 리아프누프 지수의 정도가 지수적 상관관계 감쇠와 같은 더 강력한 혼합 행동을 어떻게 암시하는가?
• RQ4 이 틀은 매우 퇴도성 강제력이 있는 갈레르킨 절단과 같은 유한차원 유체 모델로 확장될 수 있는가?
• RQ5 랜덤 혼합 속도의 성격은 무엇이며, 이는 확률적으로 일관되게 유계로 유지될 수 있는가?

주요 결과

• 모든 $ s > 0 $ 에 대해, 결정론적 상수 $ \hat{\gamma} > 0 $ 가 존재하여, 모든 평균이 0인 $ H^s $ 수체가 거의 확실하게 $ H^{-s} $-노름에서 속도 $ e^{-\hat{\gamma}t} $ 로 감쇠된다.
• 혼합 속도는 초기 속도와 브라운 운동 경로와 무관하며, 초기 진폭을 제어하는 랜덤 상수 $ D(u,\omega) $ 에 의해 결정된다.
• 비퇴도성 $ H^\sigma $-정규성 노이즈 하에서 충분히 큰 $ \sigma $ 에 대해, 2차원 나비에-스토크스 방정식과 3차원 초점성 나비에-스토크스 방정식 양쪽 모두에서 지수혼합이 성립한다.
• 이 결과는 동역학계 이론에서 고정된 상관관계 감쇠와 동치이며, 양의 리아프누프 지수보다 더 강력한 조건이다.
• 이 방법은 $ C^k_t C^\infty_x $ 랜덤 속도장에 적용 가능하며, 많은 수의 거의 확실한 지수혼합 흐름이 제시된다.
• 모든 $ p > 0 $ 에 대해 랜덤 혼합 상수 $ D(u,\omega) $ 의 모멘트가 일관되게 유계이므로, 감쇠 추정의 강건성을 보장한다.