[논문 리뷰] Almost sure optimal hedging strategy

Emmanuel Gobet, Nicolas Landon|HAL (Le Centre pour la Communication Scientifique Directe)|2014. 05. 16.

Stochastic processes and financial applications인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 정지 시간 재균형 전략 하에서 다차원 Itô 모델에서 이산화 오차의 재규합된 이차변동의 거의 확실한 점점하한을 설정한다. 이는 랜덤 타원체의 도달 시간 전략이 점점하한을 거의 확실하게 점점달성함을 증명하며, 거의 확실 수렴 하에서 모델 및 지ay금에 관계없이 강건한 최적 헤징 방안을 제공한다.

ABSTRACT

In this work, we study the optimal discretization error of stochastic integrals, in the context of the hedging error in a multidimensional Itô model when the discrete rebalancing dates are stopping times. We investigate the convergence, in an almost sure sense, of the renormalized quadratic variation of the hedging error, for which we exhibit an asymptotic lower bound for a large class of stopping time strategies. Moreover, we make explicit a strategy which asymptotically attains this lower bound a.s. Remarkably, the results hold under great generality on the payoff and the model. Our analysis relies on new results enabling us to control a.s. processes, stochastic integrals and related increments.

연구 동기 및 목표

• 랜덤 재균형 시간 하에서 확률적 적분의 최적 이산화를 다루기 위해.
• 다차원 Itô 모델에서 헤징 오차의 재규합된 이차변동에 대한 거의 확실한 하한을 유도하기 위해.
• 이 하한을 거의 확실하게 점점달성하는 정지 시간 전략을 구성하기 위해.
• 정규 메쉬를 초월해 일반 정지 시간 전략, 특히 랜덤 타원체의 도달 시간을 포함한 전략으로 최적성 결과를 확장하기 위해.
• 지급 함수와 확산 모델의 넓은 범위에서 강건성을 확보하기 위해, 국소 변동성 및 이국적 옵션을 포함한 모델을 포함한다.

제안 방법

• 재균형 횟수와 헤징 오차의 이차변동의 곱을 최적화 기준으로 사용한다.
• 랜덤 타원체의 도달 시간에 기반한 정지 시간 전략의 클래스를 정의한다: $\tau^{n}_{i} = \inf\{t \geq \tau^{n}_{i-1} : (S_t - S_{\tau^{n}_{i-1}}) \cdot H_{\tau^{n}_{i-1}} (S_t - S_{\tau^{n}_{i-1}}) = 1\} \land T$.
• 마팅게일 측도 하에서 헤징 오차의 분포와 모멘트를 제어하기 위해 Lenglart 및 Burkholder–Davis–Gundy 부등식을 적용한다.
• 일반 Itô 확산 설정에서 과정과 증분의 거의 확실 수렴을 제어하기 위해 고급 확률적 분석 기법을 활용한다.
• 비타원형 모델, 예를 들어 국소 변동성 및 룩백 옵션을 다루기 위해 전이 밀도 추정과 초타원성 조건을 활용한다.
• 비정규 지급 함수와 가격 함수의 경계 효과를 다루기 위해 매끄러운 截단 함수와 국소화 추론을 사용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 정지 시간 재균형 전략 하에서 헤징 오차의 재규합된 이차변동에 대한 거의 확실한 점점하한은 무엇인가?
• RQ2 정지 시간 전략을 구성하여 이 하한을 거의 확실하게 점점달성할 수 있는가?
• RQ3 최적성 결과는 모델 역학과 지급 구조에 따라 어떻게 달라지며, 특히 불연속적이거나 이국적인 지급에 대해 어떻게 달라지는가?
• RQ4 결정적 메쉬를 초월해 일반 정지 시간 전략으로 결과를 얼마나 넓히는가?
• RQ5 제품 $N^n_T \langle Z^n \rangle_T$ 가 尾행동과 $L_p$-모멘트를 모두 제어하므로, 일반적인 헤징 비용 최소화에 대해 결과는 어떤 의미를 갖는가?

주요 결과

• 정지 시간 전략의 클래스, 특히 랜덤 타원체의 도달 시간 기반 전략에서 재규합된 헤징 오차 곱 $N^n_T \langle Z^n \rangle_T$ 는 거의 확실한 점점하한을 가진다.
• 이 하한은 보편적이다: 다차원 Itô 과정, 일반 지급 함수(불연속적 포함), 국소 변동성 모델 등 최소한의 가정 하에서도 성립한다.
• 특정 전략이 랜덤 타원체의 도달 시간에 기반하여 거의 확실하게 점점하한을 달성함으로써, 거의 확실 수렴 하에서의 최적성은 입증된다.
• 확산이 균일하게 타원형이 아니라도 초타원성 조건을 만족하면 결과는 성립한다—이 경우 블랙-숄즈 및 양성 변동성의 국소 변동성 모델이 포함된다.
• 아시안 및 룩백 옵션과 같은 이국적 옵션은 고차원에서의 초타원성 확산으로 환원함으로써 분석에 포함된다.
• 논문은 카란디카르 계획이 제안된 전략의 특수한 경우임을 입증하며, 이를 더 넓은 최적성 프레임워크 내에 통합한다.