[논문 리뷰] Almost Sure Stabilization for Adaptive Controls of Regime-switching LQ Systems with A Hidden Markov Chain

Bernard Bercu, François Dufour외 1명|ArXiv.org|2008. 07. 09.

Stability and Controllability of Differential Equations참고 문헌 18인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 은폐된 마르코프 체인이 제어하는 연속시간 제어 전환 선형 제곱(LQ) 시스템에 대한 적응형 제어에서 거의 확실 안정성을 확립한다. 적절한 리아푸노프 함수를 구성하고 비선형 필터링(Wonham 필터)을 활용하여, 선형 피드백 제어가 거의 확실하게 표본 경로 안정성을 보장함을 증명하며, 미약한 조건 하에서 제어 과정이 양의 재시행성임을 또한 입증한다.

ABSTRACT

This work is devoted to the almost sure stabilization of adaptive control systems that involve an unknown Markov chain. The control system displays continuous dynamics represented by differential equations and discrete events given by a hidden Markov chain. Different from previous work on stabilization of adaptive controlled systems with a hidden Markov chain, where average criteria were considered, this work focuses on the almost sure stabilization or sample path stabilization of the underlying processes. Under simple conditions, it is shown that as long as the feedback controls have linear growth in the continuous component, the resulting process is regular. Moreover, by appropriate choice of the Lyapunov functions, it is shown that the adaptive system is stabilizable almost surely. As a by-product, it is also established that the controlled process is positive recurrent.

연구 동기 및 목표

• 부분 관측된 전환 제어 LQ 시스템에 대한 경로 기반(거의 확실) 안정성 결과의 부족을 해결하기 위해.
• 관측 불가능한 마르코프 전환 매개변수를 갖는 시스템에서 기존의 평균 모멘트 기반 안정성 기준을 표본 경로 안정성으로 확장하기 위해.
• 선형 성장 조건을 만족하는 선형 피드백 제어가 거의 확실 안정성과 양의 재시행성을 보장함을 입증하기 위해.
• 부분 관측과 적응형 제어 하에서 제어 과정의 엄밀한 표본 경로 분석을 제공하기 위해.
• Wonham 필터가 은폐된 마르코프 시스템에 대한 적응형 제어 설계를 가능하게 하는 효과를 입증하기 위해.

제안 방법

• 은폐된 연속시간 마르코프 체인이 시스템 동역학을 조절하는 연속시간 LQ 시스템을 사용한다.
• 관측되지 않은 마르코프 상태를 추정하기 위해 Wonham 필터를 적용하여 적응형 제어 설계를 가능하게 한다.
• 전환 구조에 맞게 조정된 리아푸노프 함수를 구성하여 거의 확실 안정성을 증명한다.
• 비선형 필터링과 마틴갈 기법을 활용하여 추정 오차 및 제어 과정의 행동을 분석한다.
• 지역 마틴갈에 대한 강한 대수법칙을 사용하여 정규화된 상태 및 제어 항목의 수렴성을 보여준다.
• 표본 경로 안정성을 확보하기 위해 이차 변동성과 적분 가능성 조건의 유한성을 확립한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 은폐된 마르코프 전환을 갖는 LQ 시스템에서 적응형 제어 전략이 거의 확실(표본 경로) 안정성을 보장할 수 있는가?
• RQ2 리아푸노프 함수의 선택이 관측 불가능한 상태를 갖는 전환 제어 시스템의 안정성 분석에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ3 Wonham 필터는 부분 관측 하에서 적응형 제어를 가능하게 하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ4 은폐된 마르코프 전환 존재 하에서 제어 과정이 양의 재시행성이 되는 조건는 무엇인가?
• RQ5 이차 모멘트 안정성 기준과 거의 확실 안정성 기준은 시스템 행동에 대해 어떤 차이를 갖는가?

주요 결과

• 연속 상태에 대한 선형 피드백 제어와 선형 성장 조건 하에서 제어 과정은 거의 확실하게 안정하다.
• 시스템은 양의 재시행성이며, 거의 확실하게 장기적 안정성과 컴acts 집합으로의 재등장 보장한다.
• 은폐된 마르코프 체인의 추정 오차는 거의 확실하게 수렴하여 효과적인 적응형 제어를 가능하게 한다.
• 정규화된 상태 및 제어 과정은 거의 확실하게 0으로 수렴하여 점점 안정성을 나타낸다.
• 추정 오차 마틴갈의 이차 변동성은 거의 확실하게 시간의 선형 함수로 유계이다.
• 마르코프 전환 구조에 맞게 조정된 리아푸노프 함수의 사용은 미약한 조건 하에서도 거의 확실 안정성을 보장한다.