[논문 리뷰] Almost universal codes achieving ergodic MIMO capacity within a constant gap

Laura Luzzi, Roope Vehkalahti|arXiv (Cornell University)|2015. 07. 27.

Advanced Wireless Communication Techniques참고 문헌 37인용 수 10

한 줄 요약

이 논문은 소수 판별식을 가진 분할 대수를 기반으로 하는 다중블록 격자 코드의 가족을 제안하며, 모든 신호 대 잡음비(SNR) 수준에서 비가역 MIMO 용량에 일정한 간격 이내로 도달한다. 수론과 계급체 이론을 사용하여, 정규화된 최소 결정식이 최대우도 및 단순 격자 디코딩 모두에서 신뢰할 수 있는 통신을 보장하는 설계 기준이 되며, 레이일리 fading 채널에서 오류 확률이 지수적으로 감소함을 입증한다.

ABSTRACT

This work addresses the question of achieving capacity with lattice codes in multi-antenna block fading channels when the number of fading blocks tends to infinity. A design criterion based on the normalized minimum determinant is proposed for division algebra multiblock space-time codes over fading channels; this plays a similar role to the Hermite invariant for Gaussian channels. It is shown that this criterion is sufficient to guarantee transmission rates within a constant gap from capacity both for slow fading channels and ergodic fading channels. This performance is achieved both under maximum likelihood decoding and naive lattice decoding. In the case of independent identically distributed Rayleigh fading, it is also shown that the error probability vanishes exponentially fast. In contrast to the standard approach in the literature which employs random lattice ensembles, the existence results in this paper are derived from number theory. First the gap to capacity is shown to depend on the discriminant of the chosen division algebra; then class field theory is applied to build families of algebras with small discriminants. The key element in the construction is the choice of a sequence of division algebras whose centers are number fields with small root discriminants.

연구 동기 및 목표

• 모든 SNR 영역에서 명시적 격자 코드를 통해 MIMO 용량에 도달하는 데의 격차를 해소하기 위해.
• fading 채널에서 다중블록 공간-시간 코드를 위한 설계 기준을 개발하여 용량에 가까운 성능을 보장하기 위해.
• 분할 대수 코드의 정규화된 최소 결정식이 비가역 및 느린 fading MIMO 채널에서 용량에 대한 간격을 결정함을 보여주기 위해.
• 레이일리 fading에서 신뢰할 수 있는 통신이 가능하며 오류 확률이 지수적으로 감소하는 명시적 격자 코드의 존재를 증명하기 위해.
• 특히 계급체 이론을 포함한 대수적 수론이 작은 판별식을 가진 코드를 생성함으로써 용량 간격을 작게 만들 수 있음을 확립하기 위해.

제안 방법

• 작은 루트 판별식을 가진 수체 위에서 분할 대수를 사용하여 다중블록 격자 코드를 설계한다.
• 작은 판별식을 가진 $K$-중앙 분할 대수의 가족을 계급체 이론을 적용하여 구성한다.
• 용량 간격을 유한하게 유지하기 위해 정규화된 최소 결정식을 핵심 기하학적 불변량으로 사용한다.
• AWGN 채널에서의 격자 코드 설계에 영감을 얻은 구형 포장 접근법을 사용하며, 이를 fading MIMO 환경에 적응시킨다.
• fading 채널에서 헤르미트 불변량의 유사성에 주목하여, 정규화된 최소 결정식이 가우시안 채널에서의 헤르미트 상수와 유사한 역할을 한다.
• 수열 $\log \det H_i H_i^\dagger$ 에 대해 강한 대수의 법칙을 적용하여 수렴성과 오류 확률 감소를 보장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 명시적 격자 코드가 모든 SNR 수준에서 비가역 MIMO 용량에 일정한 간격 이내로 도달할 수 있는가?
• RQ2 다중블록 분할 대수 코드의 정규화된 최소 결정식이 fading 채널에서 용량에 접근하기 위한 설계 기준이 될 수 있는가?
• RQ3 작은 판별식을 가진 분할 대수의 수론적 구성이 용량에 대한 간격이 유한한 코드를 생성할 수 있는가?
• RQ4 최대우도 디코딩과 동일한 용량 간격에서 단순 격자 디코딩을 사용해도 신뢰할 수 있는 통신이 가능한가?
• RQ5 레이일리 fading MIMO 채널에서 이러한 대수적 코드를 사용하여 오류 확률이 지수적으로 감소함을 보일 수 있는가?

주요 결과

• 제안된 다중블록 격자 코드는 ML 및 단순 격자 디코딩 모두에서 모든 SNR 값에서 비가역 MIMO 용량에 일정한 간격 이내로 도달한다.
• 용량 간격은 $n \log C_L - n \log \frac{\pi e}{4n}$ 로 유한하게 유계이며, 여기서 $C_L$ 는 격자 가족의 기하학적 불변량이다.
• i.i.d. 레이일리 fading에서 오류 확률은 페이딩 블록 수 $k \to \infty$ 가 되면서 지수적으로 빠르게 감소한다.
• 이 구성은 작은 루트 판별식을 가진 수체와 작은 판별식을 가진 $K$-중앙 분할 대수에 기반하며, 계급체 이론에 의해 확립된다.
• 정규화된 최소 결정식이 용량 간격을 결정짓는 핵심 불변량임을 입증하였으며, 이는 가우시안 채널에서의 헤르미트 불변량과 유사하다.
• 랜덤 코딩을 피하고 명시적 대수적 수론을 사용하여 존재성과 성능 보장을 증명한다.