[논문 리뷰] Alpha-CIR Model with Branching Processes in Sovereign Interest Rate Modelling

Ying Jiao, Chengcang Ma외 1명|arXiv (Cornell University)|2016. 02. 17.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 37인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 스펙트르ально 양성 α-스테이블 Lévy 과정을 도입하여 저금리의 지속성과 주권 채권 시장에서의 큰 폭의 군집화된 점프를 동시에 반영하는, CIR 모델의 단순화된 확장인 α-CIR 모델을 제안한다. α-루트 변동성 구조를 통해 분기 성질을 유지함으로써, 모델은 닫힌 형식의 채권 가격 설정이 가능하며, 무거운 尾 동역학과 자기 자극적 행동을 정확히 기술한다.

ABSTRACT

We introduce a class of interest rate models, called the $\\alpha$-CIR model, which gives a natural extension of the standard CIR model by adopting the $\\alpha$-stable L{\\'e}vy process and preserving the branching property. This model allows to describe in a unified and parsimonious way several recent observations on the sovereign bond market such as the persistency of low interest rate together with the presence of large jumps at local extent. We emphasize on a general integral representation of the model by using random fields, with which we establish the link to the CBI processes and the affine models. Finally we analyze the jump behaviors and in particular the large jumps, and we provide numerical illustrations.

연구 동기 및 목표

• 채권 시장에서 관찰되는 지속적인 저금리와 큰 군집화된 점프가 동시에 존재하는 현상을 설명하는 데 목적이 있다. 이는 고정수익 시장의 핵심 경험적 수수께끼이다.
• 기본적인 CIR 모델을 확장하기 위해 α-스테이블 Lévy 과정을 도입하면서도 분기 성질을 유지하여 해석적 유연성을 확보하고자 한다.
• 소규모 변동성과 극단적 점프 리스크를 동시에 포괄하는 통합적이고 저차원의 프레임워크를 제공하고자 한다.
• CBI 및 애프린 과정과의 연결 고리를 제공하는 무작위 필드 적분 표현을 통해 엄밀한 수학적 기반을 구축하고자 한다.
• 채권 가격과 첫 번째 큰 점프의 분포에 대한 명시적 표현을 유도하여 실용적인 校정과 리스크 분석을 가능하게 하고자 한다.

제안 방법

• α-CIR 모델은 CIR 과정에서 브라운 운동을 스펙트르ально 양성 α-스테이블 Lévy 과정으로 대체함으로써 확장되며, 여기서 α ∈ (1,2]이므로 무한 활동 점프와 중량이 무거운 증분이 가능하다.
• 변동성 항은 이자율 과정의 α제곱근을 사용하여 분기 성질을 유지함으로써, 과정이 연속 상태 분기 과정으로 남도록 보장한다.
• 해결책을 특징짓기 위해 무작위 필드를 통한 적분 표현이 도입되며, 이는 CBI 과정과 애프린 모델과의 연결 고리를 가능하게 한다.
• 모델은 매개변수 a(균형 수렴 속도), b(장기 평균), σ(확산 변동성), σZ(α-스테이블 점프 변동성)와 초기 금리 r₀를 사용하여 校정된다.
• 모멘트 생성 함수와 라플라스 변환을 활용하여 모든 α ∈ (1,2]에 대해 채권 가격에 대한 닫힌 형식의 표현식이 도출된다.
• 첫 번째 큰 점프 시간 τȳ는 경로 기반 및 모멘트 기반 기법을 사용하여 생존 확률 ℙ(τȳ > t)과 그 기대값을 분석한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떻게 단순한 금리 모델이 주권 채권 시장에서 관찰되는 저금리의 지속성과 큰 군집화된 점프를 동시에 반영할 수 있는가?
• RQ2 α < 2인 α-스테이블 Lévy 과정을 포함함으로써 CIR 모델이 경험적 수익률 곡선 데이터에 얼마나 더 잘 맞는가? 특히 저금리 제도에서의 성능은 어떠한가?
• RQ3 α-스테이블 점프는 첫 번째 큰 점프 시간의 분포에 어떤 영향을 미치며, 이 영향은 안정성 지수 α에 따라 어떻게 변화하는가?
• RQ4 무거운 尾 동역학과 자기 자극적 점프 동역학을 포함하면서도 α-CIR 모델이 애프린 구조와 닫힌 형식의 채권 가격 설정을 유지할 수 있는가?
• RQ5 분기 성질은 α-CIR 모델에서 어떻게 나타나며, 이는 금리 리스크의 계층적 분해에 어떤 함의를 갖는가?

주요 결과

• α-CIR 모델에서 채권 가격은 α가 감소함에 따라 감소하며, 이는 더 두꺼운 尾 점프 동역학이 더 낮은 기대 금리를 초래함을 시사한다. 이는 직관적이지 않지만 경험적으로 타당한 결과이다.
• α < 2일 경우, 첫 번째 큰 점프까지의 기대 시간(τȳ)은 크게 감소하여, 점프 尾 이 더 두꺼울수록 큰 점프가 더 일찍 발생할 가능성이 높다는 것을 의미한다.
• 생존 확률 ℙ(τȳ > t)은 α가 작을수록 급격히 0으로 수렴함을 확인하여, 중량이 두꺼운 점프가 더 이른 시점과 더 자주 극단적 움직임을 유도함을 확인한다.
• 모델는 자기 자극적 행동을 보인다: 이자율 수준이 높을수록 점프 강도가 증가하며, 주권 리스크 사건에서 관찰되는 군집화 현상과 일치한다.
• 점프를 포함함에도 불구하고, 모델은 채권 가격과 첫 번째 큰 점프 분포에 대한 닫힌 형식의 표현식을 유지하여 효율적인 校정과 리스크 측정이 가능하다.
• 수치적 예시는 α 값이 낮을수록 장기간의 저금리 상태가 갑작스럽고 큰 상승 점프로 끊어지는 경향이 있음을 확인하며, 이는 그리스 주권 채무 위기의 역학과 일치한다.