[논문 리뷰] $\alpha$-type Hochschild cohomology of Hom-associative algebras and Hom-bialgebras

Benedikt Hurle, Abdenacer Makhlouf|arXiv (Cornell University)|2018. 06. 04.

Advanced Topics in Algebra참고 문헌 10인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 곱셈과 구조 사상 α의 변형을 모두 포함하는, 다중성 Hom-결합 대수와 Hom-bialgebra에 대한 새로운 코homology 이론인 α-형 Hochschild 코homology를 제안한다. 이 이론은 고전적 Hochschild 코homology와 Gerstenhaber-Schack 코homology를 일반화하며, α가 고정되지 않은 Hom-대수에서 변형 이론을 통합하는 프레임워크를 제공한다. 주요 기여는 α-변형 하에서 대수적 및 코대수적 구조의 변형을 제어하는 이중複합 구조이다.

ABSTRACT

In this paper we define a new cohomology for multiplicative Hom-associative algebras, which generalize Hochschild cohomology and fits with deformations of Hom-associative algebras including the structure map $\alpha$. It is a generalization of the known Hochschild-type cohomology for Hom-associative algebras defined by Amar, Ejbehi and Makhlouf. Moreover, we provide various observations and similarly a new cohomology of Hom-bialgebras extending the Gerstenhaber-Schack cohomology for Hom-bialgebras given by Dekkar and Makhlouf.

연구 동기 및 목표

• Hom-결합 대수에서 곱셈과 구조 사상 α의 변형을 포괄하는 코homology 이론을 개발한다.
• 복합체에서 α의 역할을 통합함으로써 기존의 Hom-대수에 대한 Hochschild-형 코homology를 일반화한다.
• Gerstenhaber-Schack 코homology를 일반화함으로써 Hom-bialgebra로 코homology 프레임워크를 확장한다.
• α가 고정되지 않고 변화할 수 있는 Hom-결합 대수의 변형 이론을 수립한다.
• α-변형 하에서 곱셈과 코곱셈의 변형을 코딩하는 Hom-bialgebra에 대한 이중복합 구조를 제공한다.

제안 방법

• α를 포함하는 맵의 쌍을 사용하여 다중성 Hom-결합 대수에 대한 새로운 코homology 복합체를 정의하며, 고전적 Hochschild 코チェ인을 일반화한다.
• µ 및 α-구조에 대한 차수 (i,j)에서의 코체인 (ϕ, ψ, χ, ξ)에 작용하는 미분 성분 ∂µµ, ∂µα, ∂αα, ∂αµ를 갖는 이중복합체를 구성한다.
• α가 가역일 경우, Yau 변형 구조를 사용하여 α-형 코homology를 고전적 코homology와 연결한다.
• 코homology 복합체 위에 L∞-구조를 수립하여 고차 호모토피 관계를 코딩한다.
• µ∆, α∆, α∆, αβ, µβ 성분을 포함하는 다섯 항목의 복합체를 사용하여 Hom-bialgebra에 대한 Gerstenhaber-Schack-형 코homology를 정의한다.
• 텐서곱과 α-변형 모듈러 구조를 사용하여 미분이 제곱하여 0이 됨을 확인함으로써 복합체가 잘 정의되어 있음을 보장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떻게 Hom-결합 대수에서의 Hochschild 코homology를 구조 사상 α의 변형까지 포함하도록 일반화할 수 있는가?
• RQ2 새로운 α-형 코homology는 AEM11의 기존 Hochschild-형 코homology와 어떤 관계가 있는가?
• RQ3 특히 α가 가역일 경우, Yau 변형 구조에서 α-형 코homology는 어떻게 행동하는가?
• RQ4 이 새로운 코homology로 Hom-결합 대수의 변형 이론이 완전히 제어될 수 있는가, 특히 α의 변화까지 포함하여?
• RQ5 어떻게 Hom-bialgebra에 대한 Gerstenhaber-Schack 코homology를 α-변형 구조를 포함하도록 확장할 수 있는가?

주요 결과

• α-형 Hochschild 코homology 복합체는 ∂µµ, ∂µα, ∂αα, ∂αµ 성분을 갖는 이중복합체로 정의되며, ∂² = 0을 만족하여 타당한 코homology 이론임을 보장한다.
• α = id일 경우, α-형 코homology는 고전적 Hochschild 코homology로 축소되며, α가 가역일 경우 Yau 변형을 통해 AEM11 코homology와 관련된다.
• Hom-결합 대수에서 곱셈과 α가 동시에 변형되는 변형은 α-형 코homology에 의해 제어되며, 1차 변형은 H¹에 의해 제어된다.
• 코homology는 L∞-구조를 갖추고 있어, 대수적 구조와 호환되는 고차 호모토피 연산을 나타낸다.
• α = β인 Hom-bialgebra의 경우, 제약 조건 ψi,j = χi−1,j+1 및 ξi,j = 0를 만족하는 전체 이중복합체의 부분복합체가 식별되며, 이는 미분에 의해 보존된다.
• Hom-bialgebra의 결과 코homology 복합체는 CGSi = ⊕_{j=1}^{i-1} Hj,i−j ⊕ ⊕_{j=1}^{i−2} Hj,i−j−1로 주어지며, 명시적 미분 ∂µµ, ∂µα, ∂αα, ∂αµ 및 그 쌍대형이 포함되어 있다.