[논문 리뷰] Altering symplectic manifolds by homologous recombination

Mohammed Abouzaid, Paul Seidel|arXiv (Cornell University)|2010. 07. 19.

Geometric and Algebraic Topology참고 문헌 38인용 수 31

한 줄 요약

이 논문은 리만-레프셰츠 피브레이션을 조작하여 고차원 열린 심플렉틱 다양체, 특히 복소 아핀 다양체와 코탄제이언트 번들의 유한 유형 리우빌 구조에 대해 무한히 많은 비심플렉토모르픽인 구조를 구성하기 위해 '유사 재조합'이라는 새로운 기법을 소개한다. 주요 기여는 거의 심플렉틱 유형을 유지하면서도 계수 체의 성질에 따라 심플렉틱 cohomology가 0이 되거나 0이 아닌 상태로 조절 가능하게 하여, 미분형이 아닌 경우에도 심플렉틱 구조의 유일성 부재를 증명하는 데 있다.

ABSTRACT

We use symplectic cohomology to study the non-uniqueness of symplectic structures on the smooth manifolds underlying affine varieties. Starting with a Lefschetz fibration on such a variety and a finite set of primes, the main new tool is a method, which we call homologous recombination, for constructing a Lefschetz fibration whose total space is smoothly equivalent to the original variety, but for which symplectic cohomology with coefficients in the given set of primes vanishes (there is also a simpler version that kills symplectic cohomology completely). Rather than relying on a geometric analysis of periodic orbits of a flow, the computation of symplectic cohomology depends on describing the Fukaya category associated to the new fibration. As a consequence of this and a result of McLean we prove, for example, that an affine variety of real dimension greater than 4 supports infinitely many different (Wein)stein structures of finite type, and, assuming a mild cohomological condition, uncountably many different ones of infinite type. In addition, we introduce a notion of complexity which measures the number of handle attachments required to construct a given Weinstein manifold, and prove that, in dimensions greater than or equal to 12, one may ensure that the infinitely many different Weinstein manifolds smoothly equivalent to a given algebraic variety have bounded complexity.

연구 동기 및 목표

• 유한 유형 리우빌 다양체, 특히 실수 차원 ≥6인 복소 아핀 다양체에 대해 심플렉틱 구조의 비유일성을 입증하는 것.
• 심플렉틱 cohomology가 새로운 위상적 구성인 '유사 재조합'을 통해 제어 가능함을 보여주어 계수 체의 성질에 따라 0이 되거나 0이 아닌 행동을 할 수 있음을 보여주는 것.
• 서로 다른 심플렉틱 구조를 가진 무한한 리우빌 다양체의 가닥을 만들되, 거의 심플렉틱형이면서도 상호 비심플렉토모르픽이 되도록 하는 것, 즉 복잡도가 유한한 범위 내에서 이루어지는 것.
• 유한 유형 리우빌 다양체에 대해 무한한 경계 연결 합을 사용하여 결과를 유형 무한 리우빌 다양체로 확장하는 것.

제안 방법

• 심플렉틱 피카르-레프셰츠 이론을 적용하기 위해 원래 리우빌 다양체를 리만-레프셰츠 피브레이션으로 표현하는 것.
• 생물학에서 영감을 얻은 '유사 재조합'—위상적 연산—을 수행하여 피브레이션 구조를 수정하고, 심플렉틱 cohomology가 변경된 새로운 리우빌 도메인을 생성하는 것.
• 유한 체 위에서 제어 가능한 심플렉틱 cohomology를 가진 특수히 구성된 리우빌 도메인 $U$ 또는 $ ilde{U}_q$와의 경계 연결 합을 사용하는 것.
• 심플렉틱 cohomology의 결과 다양체를 구성요소의 cohomology의 직접 합 또는 곱으로 연결하기 위해 비터보 제약 사상(Viterbo restriction map)을 활용하는 것.
• 정수 및 mod-$p$ 계수를 가진 심플렉틱 cohomology의 장긴 완전열을 적용하여 $p$-나누가능성에 의해 0이 아닌 행동을 탐지하는 것.
• 유한 유형 도메인의 증가합으로서 유형 무한 리우빌 다양체를 구성하고, 다양한 체 위에서의 차원성에 의해 식별 가능한 심플렉틱 cohomology의 무한 곱을 사용하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 유한 유형 리우빌 다양체의 거의 심플렉틱 유형을 유지하면서도 심플렉틱 cohomology를 제어 가능한 방식으로 변경할 수 있는가?
• RQ2 복잡도가 유한한 범위 내에서, 하나의 열린 다양체 위에 무한히 많은 비심플렉토모르픽인 심플렉틱 구조를 구성할 수 있는가?
• RQ3 동일한 기저 다양체를 사용하여 어떤 체(예: $p$-차원)에서는 심플렉틱 cohomology가 0이 되고 다른 체(예: 0-차원)에서는 0이 아닌 상태로 유지될 수 있는가?
• RQ4 계수 체의 선택이 유사 재조합을 통해 구성된 다양체의 심플렉틱 cohomology에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ5 무한한 경계 연결 합을 사용하여, 다양한 체에서 서로 다른 심플렉틱 cohomology를 가진 유형 무한 리우빌 다양체를 구성할 수 있는가?

주요 결과

• 실수 차원 ≥6인 임의의 매끄러운 복소 아핀 다양체 $X$에 대해, 임의의 계수 체에서 심플렉틱 cohomology가 0이 되는 유한 유형 리우빌 다양체 $ ilde{X}$가 존재하며, 이는 $X$와 거의 심플렉틱형이다.
• 이러한 다양체에 대해, $X$와 거의 심플렉틱형이지만 $ar{bF}_p$ 위에서 서로 다른 심플렉틱 cohomology를 가지므로 상호 비심플렉토모르픽인 유한 유형 리우빌 다양체의 무한 수열 $ ilde{X}_k$가 존재한다.
• 실수 차원 ≥12인 다양체에 대해, 고정된 정수 $q$가 소수 $p$로 나누어지면 $bF_p$ 위에서 심플렉틱 cohomology가 0이 되고, 그렇지 않으면 0이 아닌 상태로 유지되는 $ ilde{X}$를 구성할 수 있다. 이는 0-차원에서도 성립한다.
• 결과 다양체 $ ilde{X}_k$의 심플렉틱 cohomology는 고정된 도메인 $U$의 심플렉틱 cohomology의 $k$중 직접 합과 동형이며, 짝수 부분에서 $x^p = x$의 해의 수를 통해 이를 식별할 수 있다.
• 고정된 리만-레프셰츠 피브레이션에서 유사 재조합을 적용하는 복잡도가 유한한 구성 방식을 통해, $ ilde{X}_q$는 상호 비심플렉토모르픽이지만 복잡도가 일정하게 유지되는 것으로 나타난다.
• 유한 유형 도메인의 합집합으로서 유형 무한 리우빌 다양체를 구성할 수 있으며, $p$가 어떤 $q_k$로 나누어떨어지는 $bF_p$ 위에서는 심플렉틱 cohomology가 가산이지만, $p$가 어떤 $q_k$로도 나누어지지 않는 경우는 비가산이 된다—이를 통해 차원성에 의해 서로 다른 구조임을 증명한다.