[논문 리뷰] Alternated Hochschild Cohomology

Pierre Lecomte, Valentin Ovsienko|arXiv (Cornell University)|2010. 12. 17.

Advanced Topics in Algebra참고 문헌 12인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 기여자 브라켓의 부분 반대칭화를 사용하여 기약 변수에 대해 반대칭인 코체 위에 그레이드 리 대수 구조를 구성함으로써, 리 반대대수에 대한 새로운 코homology 이론을 제안한다. 주요 기여는 Hochschild 유형의 코homology를 리 반대대수에 대해 정의하고, 게르스텐하버-후크스 및 고빌론-베이 클래스에 해당하는 명시적인 비자명한 코사이클을 제공함으로써 이러한 대수에 대한 코homological 프레임워크를 확립하는 것이다.

ABSTRACT

In this paper we construct a graded Lie algebra on the space of cochains on a $\mathbbZ_2$-graded vector space that are skew-symmetric in the odd variables. The Lie bracket is obtained from the classical Gerstenhaber bracket by (partial) skew-symmetrization; the coboundary operator is a skew-symmetrized version of the Hochschild differential. We show that an order-one element $m$ satisfying the zero-square condition $[m,m]=0$ defines an algebraic structure called "Lie antialgebra". The cohomology (and deformation) theory of these algebras is then defined. We present two examples of non-trivial cohomology classes which are similar to the celebrated Gelfand-Fuchs and Godbillon-Vey classes.

연구 동기 및 목표

• 기약 변수에 대해 반대칭인 코체 위에 새로운 그레이드 리 대수 구조를 정의함으로써 리 반대대수에 대한 코homology 이론을 개발한다.
• Hochschild 미분의 반대칭화를 통해 코boundary 연산자를 정의함으로써 고전적 코homology 이론을 일반화한다.
• 리 반대대수의 확장과 그 모듈러의 분류에서 두 번째 및 첫 번째 코homology 공간의 코homological 의미를 확립한다.
• 무한차원 리 대수에서 유명한 게르스텐하버-후크스 및 고빌론-베이 클래스에 해당하는 유사한 명시적인 비자명한 코homology 클래스를 구성한다.

제안 방법

• 기약 변수에 대해 반대칭인 다중선형 사상 위에 그레이드 리 대수 구조를 구성함으로써, Z²-그레이드 벡터 공간 위에서 기여자 브라켓의 부분 반대칭화를 사용한다.
• 순서 1 원소 m가 [m, m] = 0 를 만족함을 전제로 δ = adₘ 를 코boundary 연산자로 정의하며, 이는 그레이드 자코비 항등식에 의해 δ² = 0 를 보장한다.
• 미분에 대한 명시적인 조합적 공식을 유도함으로써, 이가 Hochschild와 Chevalley-Eilenberg 미분 사이를 보간함을 보여준다.
• 리 반대대수를 이 브라켓이 [m, m] = 0 를 만족하는 이항 연산 m에 의해 정의된 대수로 식별한다. 이때 m은 짝수 부분에서 대칭이고 기약 부분에서 반대칭이다.
• 리 반대대수의 쌍대 공간 위에서의 작용을 이용하여 1-코사이클과 2-코사이클을 구성하고, 명시적 계산을 통해 코사이클 조건을 검증한다.
• 첫 번째 코homology 공간 H¹(𝒜𝕂(1); 𝒜𝕂(1)*) 가 1차원이며, 비자명한 1-코사이클 γ(εₙ) = -nε*₋ₙ, γ(aᵢ) = (i² - 1/4)a*₋ᵢ 에 의해 생성된다고 추측한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 기약 변수에 대해서만 반대칭인 코체 위에 그레이드 리 대수 구조를 어떻게 정의할 수 있으며, 이는 기여자 브라켓과 니젠하우저-리히아르도슨 대수와 어떻게 관련이 있는가?
• RQ2 리 반대대수에 대한 코homology 이론은 무엇이며, 이는 어떻게 Hochschild 코homology를 일반화하는가?
• RQ3 무한차원 리 대수에서의 게르스텐하버-후크스 및 고빌론-베이 클래스를 일반화하는 비자명한 코homology 클래스를 리 반대대수의 맥락에서 구성할 수 있는가?
• RQ4 첫 번째 및 두 번째 코homology 공간의 대수적 해석은 리 반대대수와 그 모듈러의 확장에 대해 어떻게 해석될 수 있는가?

주요 결과

• 기약 변수에 대해 반대칭이고 짝수 부분에서 0으로 사라지는 비자명한 1-코사이클 γ 를 𝒜𝕂(1) 리 반대대수 위에서 γ(εₙ) = -nε*₋ₙ 및 γ(aᵢ) = (i² - 1/4)a*₋ᵢ 로 구성함으로써, 1-코사이클 조건을 만족하고 비자명함을 증명한다.
• 1-코사이클 γ 는 H¹(𝒜𝕂(1); 𝒜𝕂(1)*) 가 1차원이며, 비자명한 1-코사이클 γ 에 의해 생성된다고 추측한다. 이는 짝수 부분에서 반대칭이고 기약 부분에서 대칭이므로, 자명한 계수를 가진 2-코사이클로 해석될 수 없다.
• 리 반대대수 𝒟¹ 위에 비자명한 2-코사이클 η 를 η = a*₋₁⁄₂ ∧ a*₁⁄₂ ⊗ ε*₀ 로 정의하며, 이는 코boundary 가 아니며, 제2 코homology 공간이 1차원을 구성할 것이라 추측된다.
• 2-코사이클 η 는 코사이클 조건을 만족하고 0과 코homologous가 아니며, 고전적 고빌론-베이 코사이클과 유사한 위상적 또는 특성류 해석 가능성을 시사한다.
• 코체 복합체의 미분은 Hochschild와 Chevalley-Eilenberg 미분 사이를 보간함을 보여주며, 이는 코homology 이론의 하이브리드 성격을 반영한다.
• 제2 코homology 공간은 리 반대대수의 확장을 분류하며, 제1 코호모로지 공간은 모듈러의 확장을 분류함으로써 이 이론의 코호모로지적 의미를 확인한다.