[논문 리뷰] Alternative linear structures associated with regular Lagrangians. Weyl quantization and the Von Neumann uniqueness theorem

Elisa Ercolessi, Alberto Ibort외 2명|ArXiv.org|2006. 02. 03.

Mathematical Analysis and Transform Methods참고 문헌 4인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 $TQ$ 위의 정칙 라그랑주 함수가 $TQ$ 상에서의 대체 선형 구조를 유도할 수 있음을 보여주며, 이는 서로 다른 와이어 양자화 절차를 가능하게 한다. 이러한 비동치 양자화는 서로 다른 라그랑주 부분다양체와 다른 측도를 지닌다. 따라서 바르트만-바이어스트라스의 유일성 정리에서 벗어나게 된다.

ABSTRACT

We discuss how the existence of a regular Lagrangian description on the tangent bundle $TQ$ of some configuration space $Q$ allows for the construction of a linear structure on $TQ$ that can be considered as "adapted" to the given dynamical system. The fact then that many dynamical systems admit alternative Lagrangian descriptions opens the possibility to use the Weyl scheme to quantize the system in different non equivalent ways, "evading", so to speak, the von Neumann uniqueness theorem.

연구 동기 및 목표

• 정칙 라그랑주 기술이 $TQ$ 상에서 운동론적 선형 구조를 어떻게 유도할 수 있는지 조사하기.
• 서로 다른 동치가 아닌 라그랑주 기술이 비동치 와이어 양자화를 가능하게 하는지 검토하기.
• 이러한 양자화가 바르트만-바이어스트라스의 유일성 정리를 어떻게 피할 수 있는지 분석하기.
• 표준 벡터 공간의 구조에서 유도된 미분형사 $\phi: E \to M$를 통해 $TQ$ 상에 대체 선형 구조를 구성하기.
• 다른 양자화 체계에서 나타나는 서로 다른 라그랑주 부분다양체와 르베그 측도를 구체적으로 도출하기.

제안 방법

• 표준 벡터 공간 $E$ 에서 유도된 선형 연산을 사용하여, $\phi: E \to M$ 의 미분형사에 의해 $TQ$ 상에 대체 선형 구조를 정의하기.
• 새로운 선형 구조의 무한소 생성자로 작용하는 관련 리우빌(팽창) 벡터장 $\Delta = \phi_* \Delta_0$ 를 구성하기.
• 새로운 구조 하에서 라그랑주 두형식 $\omega_\mathcal{L}$ 가 표준 다르부 형태로 표현될 수 있음을 보이기.
• 라그랑주 부분다양체 $TQ$ 상의 평방 적분 가능 함수들의 힐베르트 공간에 위어 시스템을 실현함으로써 와이어 양자화 절차를 적용하기.
• 표준 리우빌 장의 푸시포워드를 사용하여 새로운 선형 연산과 그 무한소 생성자를 정의하기.
• 특수한 예시, 예를 들어 좌표 $x_1,x_2,x_3$ 를 가진 구면 $S^2$ 를 포함하여, 비정상적인 선형 구조와 그 운동론적 특성을 설명하기.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 정칙 라그랑주 함수가 $TQ$ 상에서 시스템에 동적으로 적합한 선형 구조를 유도할 수 있는가?
• RQ2 총 시간 미분으로만 다를 수 없는 다른 라그랑주 기술이 $TQ$ 상에서 비동치 선형 구조를 유도하는가?
• RQ3 비동치 선형 구조가 서로 다른 힐베르트 공간 구조를 지닌 별개의 와이어 양자화를 지지할 수 있는가?
• RQ4 이러한 대체 양자화 체계를 통해 바르트만-바이어스트라스의 유일성 정리를 피할 수 있는가?
• RQ5 서로 다른 라그랑주 함수에 의해 유도된 서로 다른 선형 구조 하에서 르베그 측도와 라그랑주 부분다양체는 어떻게 변환되는가?

주요 결과

• 정칙 라그랑주 함수는 표준 벡터 공간에서의 미분형사에 의해 $TQ$ 상에 시스템에 동적으로 적합한 선형 구조를 구성할 수 있다.
• 유도된 선형 구조는 $\mathbb{R}^{2n}$ 의 새로운 작용을 유도하며, 라그랑주 두형식 $\omega_\mathcal{L}$ 는 표준 다를부 형태로 표현될 수 있다.
• 동일한 시스템에 대해 서로 다른 정칙 라그랑주 함수는 비동치 선형 구조를 유도하며, 이는 서로 다른 라그랑주 부분다양체 상에서 별개의 와이어 양자화를 초래한다.
• 각 부분다양체 상의 르베그 측도가 다르기 때문에 이러한 양자화에서 유도된 힐베르트 공간의 구조는 비동치이다.
• 결과적으로 유니터리 동치가 아닌 위어 시스템이 생성되므로 바르트만-바이어스트라스의 유일성 정리는 피할 수 있다.
• 좌표 $x_1,x_2,x_3$ 를 가진 구면 $S^2$ 를 포함한 구체적 예시들은 사영형 미분형사와 그 관련 팽창장에 의해 비정상적인 선형 구조를 보여준다.