[논문 리뷰] Alternative Mathematics without Actual Infinity

Tōru Tsujishita|arXiv (Cornell University)|2012. 04. 09.

Mathematical and Theoretical Analysis참고 문헌 22인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 실제 무한을 유한성의 질적 다수성으로 대체하는 대안적 수학적 프레임워크를 제안한다. 유한 집합과 '구분 불가능성' 같은 모호한 개념을 사용하여 연속체를 구성한다. ZFC에 의존하지 않는 비표준 스타일의 수학을 개발하여, 내부 측정과 소리테스 기반 동치를 통해 실수, 미적분학, 측도론을 수립함으로써, 무한 집합 없이도 일관되고 직관주의적인 분석의 기초를 마련한다.

ABSTRACT

An alternative mathematics based on qualitative plurality of finiteness is developed to make non-standard mathematics independent of infinite set theory. The vague concept "accessibility" is used coherently within finite set theory whose separation axiom is restricted to definite objective conditions. The weak equivalence relations are defined as binary relations with sorites phenomena. Continua are collection with weak equivalence relations called indistinguishability. The points of continua are the proper classes of mutually indistinguishable elements and have identities with sorites paradox. Four continua formed by huge binary words are examined as a new type of continua. Ascoli-Arzela type theorem is given as an example indicating the feasibility of treating function spaces. The real numbers are defined to be the points on the linear continuum and have indefiniteness. Exponentiation is introduced by the Eulerian style and basic properties are established. Basic calculus is developed and the differentiability is captured by the behavior on a point. Main tools of Lebesgue measure theory is obtained in a similar way as Loeb measure. Differences from the current mathematics are examined, such as the indefiniteness of natural numbers, qualitative plurality of finiteness, mathematical usage of vague concepts, the continuum as a primary inexhaustible entity and the hitherto disregarded aspect of "internal measurement" in mathematics.

연구 동기 및 목표

• 카르테시안 무한집합 이론에 의존하지 않는 비표준 수학을 개발하여, 기초로 ZFC에 의존하지 않도록 한다.
• 이산성과 연속성 간의 철학적·수학적 갈등을 해결하기 위해, 무한을 대규모 유한성의 현상으로 간주함으로써 이를 해결한다.
• 유한 집합 이론 내에서 '접근 가능성'과 '구분 불가능성' 같은 모호한 개념을 논리적으로 일관되게 형식화한다.
• 소리테스 관계와 서로 구분 불가능한 원소들의 집합으로서의 점을 이용하여 실수, 미적분학, 측도론을 재구성한다.
• 내부 측정을 기초 원리로 도입하여, 수학적 관찰에서의 인지적 제약을 반영한다.

제안 방법

• 명확한 객관적 조건에 기반한 제한된 분리 공리계를 사용하여, 유한 집합 이론 내에서 준집합과 클래스를 정의한다.
• 소리테스 현상에 기반한 약한 동치 관계를 정의하여, 작은 변화가 정체성에 영향을 주지 않는다는 점을 바탕으로 연속체를 형성한다.
• 구분 불가능성 관계를 갖춘 집합으로서 연속체를 구성하며, 점은 상호 구분 불가능한 원소들의 고유 클래스로 간주한다.
• 실수를 선형 연속체 위의 점으로 정의하여, 기초 구조에 기인한 모호성의 성격을 이어받는다.
• Euler 스타일의 지수법칙을 도입하고, 차분 몫과 무한소 테일러 전개를 통해 미적분학을 개발한다.
• 공집합 준집합과 가측 준집합 위에서의 적분을 사용하여, Loeb 측도와 유사하게 측도론을 수립한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비표준 해석학이 실제 무한이나 ZFC에 의존하지 않고 완전히 재구성될 수 있는가?
• RQ2 접근 가능성과 구분 불가능성 같은 모호한 개념이 유한 수학 내에서 논리적으로 일관되게 형성될 수 있는가?
• RQ3 소리테스 역설은 연속성과 연속체를 정의하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ4 자연수의 전집이 모호할 때, 어떻게 미적분학과 측도론을 개발할 수 있는가?
• RQ5 내부 측정—인지적 제약을 반영하는 것—은 수학적 대상의 기초를 어떻게 재구성하는가?

주요 결과

• 실제 무한을 피하고 유한성의 질적 다수성과 접근 가능한 유한 집합에 기반하여 일관된 수학적 프레임워크를 개발하였다.
• 실수는 선형 연속체 위의 점으로 정의되며, 기초 구조에 기인한 소리테스 기반의 구분 불가능성 구조에서 기인한 모호성을 이어받는다.
• Ascoli-Arzela 정리의 일종이 성립함을 입증하여, 이 체계에서 함수 공간을 다룰 수 있음을 보였다.
• Euler 스타일로 지수법칙을 도입하였고, 무한 집합 없이도 기본 대수적·해석적 성질을 유도하였다.
• 공집합 준집합과 가측 준집합 위에서의 적분을 사용하여 측도론을 재구성하였으며, Loeb 측도와 유사하지만 유한 집합 이론 내에서 이루어졌다.
• 이 프레임워크는 내부 측정과 인지적 제약을 반영하여, 정리에 의해 동적으로 정교해지는 수학적 대상의 새로운 시각을 지원한다.