[논문 리뷰] Ambrosetti-Prodi problem with degenerate potential and Neumann boundary condition

Dušan Repovš|Repository of the University of Ljubljana (University of Ljubljana)|2018. 02. 09.

Nonlinear Partial Differential Equations참고 문헌 19인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 중력자 $|x|^\alpha$ ($\alpha \in (0,2)$) 가 비퇴화성을 유도하는 비퇴화 타원형 연산자에 대한 네우만 경계 조건을 갖는 암브로세티-프로디 문제를 연구한다. 사전 추정과 위상적 차수 이론을 사용하여, 비선형성 $f$ 가 제로 고유값을 가로질러가는 조건 하에 문제는 최소 두 개의 해를 갖는 $t < t_*$, 하나의 해를 갖는 $t_* < t \leq t^*$, 그리고 해가 없는 $t > t^*$ 인 임계 매개변수 임계값 $t_*$ 와 $t^*$ 를 확립한다.

ABSTRACT

We study the degenerate elliptic equation $-\mathop{ m div}(|x|^α abla u) =f(u)+tϕ(x)+h(x)$ in a bounded open set $Ω$ with homogeneous Neumann boundary condition, where $α\in(0,2)$ and $f$ has a linear growth. The main result establishes the existence of real numbers $t_*$ and $t^*$ such that the problem has at least two solutions if $t\leq t_*$, there is at least one solution if $t_*t^*$. The proof combines a priori estimates with topological degree arguments.

연구 동기 및 목표

• 중력자 $|x|^\alpha$ 가 비퇴화성을 유도하는 비퇴화 타원형 연산자 $-\mathrm{div}(|x|^\alpha \nabla u) = f(u) + t\varphi(x) + h(x)$ 와 네우만 경계 조건을 갖는 암브로세티-프로디 문제를 분석한다.
• 해의 수를 결정하는 임계 매개변수 임계값 $t_*$ 와 $t^*$ 의 존재를 확립한다.
• 위상적 방법을 사용하여 고전적 암브로세티-프로디 프레임워크를 비퇴화 가중치와 네우만 조건으로 확장한다.
• 중력자 $|x|^\alpha$ 의 비퇴화성이 해의 다중성과 존재성에 어떻게 영향을 미치는지 조사한다.

제안 방법

• 중력자 $|x|^\alpha$ 를 갖는 가중 힐베르트 공간 $H^1(\Omega; |x|^\alpha)$ 에서 문제를 수립하고, 노름 $\|\cdot\|_\alpha$ 를 부여한다.
• 카파렐리-코른-니레버그 부등식을 사용하여 $H^1(\Omega; |x|^\alpha)$ 가 $L^\infty(\Omega)$ 로의 임베딩을 보장함으로써 컴actness를 확보한다.
• 에너지 추정과 아르체라-아스콜리 정리를 사용하여 해에 대한 사전 $L^\infty$ 유계성을 확립한다.
• 위상적 차수 이론을 적용하여 해 집합을 분석한다: 매개변수 간격 간의 동치성과 절단을 이용해 차수를 비교한다.
• 상수 함수를 통해 하한 및 상한 해를 구성하여 하한-상한 해 방법을 적용한다.
• Nemytskii 연산자 $I - S_t$ 의 차수를 사용하여 해의 다중성을 추론한다: 차수 0은 해가 없음을, 차수 $-1$ 은 최소 두 개의 해가 있음을 의미한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비선형성 $f$ 가 제로 고유값을 가로질러갈 때, 네우만 경계 조건을 갖는 비퇴화 암브로세티-프로디 문제의 해 행동은 어떠한가?
• RQ2 해의 수가 변화하는 임계 매개변수 임계값 $t_*$ 와 $t^*$ 가 식별될 수 있는가?
• RQ3 중력자 $|x|^\alpha$ ($\alpha \in (0,2)$) 의 비퇴화성이 해의 존재성과 다중성에 어떻게 영향을 미치는가?
• RQ4 고전적 암브로세티-프로디 프레임워크는 비퇴화 연산자와 네우만 조건으로 얼마나 넓게 확장될 수 있는가?

주요 결과

• 모든 $t < t_*$ 에 대해 최소 두 개의 해를 갖는 실수 $t_*$ 와 $t^*$ 가 존재한다.
• $t \in (t_*, t^*]$ 에서 문제는 정확히 한 개의 해를 갖는다.
• $t > t^*$ 인 모든 $t$ 에 대해 해가 존재하지 않는다.
• $t_*$ 와 $t^*$ 의 존재성은 위상적 차수 추론과 사전 $L^\infty$ 추정을 통해 확립된다.
• $t$ 가 컴act 구간에 있을 때 해 집합은 $L^\infty(\Omega)$ 에서 균일하게 유계이며, 이는 차수 이론의 적용을 가능하게 한다.
• $t > t^*$ 에서 연산자 $I - S_t$ 의 차수는 0이며, $t < t_*$ 에서는 $-1$ 이다. 이는 해당 범위에서 최소 두 개의 해가 존재함을 확인한다.