[논문 리뷰] Amenability and Acyclicity in Bounded Cohomology Theory

Marco Moraschini, George Raptis|arXiv (Cornell University)|2021. 05. 06.

Advanced Operator Algebra Research참고 문헌 16인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 유계 코homology에서 등장하는 등거리 동형사상에 의한 애매성과 유계로 약한 순환성 그룹 준동형사상의 완전한 특성화를 제시하며, 존슨의 애매성 그룹 특성화를 확장한다. 전사 준동형사상이 애매한 핵을 가진다는 것과 유계 코homology에서의 확장 지ap이 모든 쌍대 노름을 가진 ℝ[Γ]-모듈 V에 대해 등거리 동형사상이 되는 것 사이의 이unge를 증명하며, 이를 호모토피 섬유를 통해 위상공간으로 확장하여 애매성과 순환성의 개념을 유계 코homology의 영성과 연결한다.

ABSTRACT

Johnson's characterization of amenable groups states that a discrete group $Γ$ is amenable if and only if $H_b^{n \geq 1}(Γ; V) = 0$ for all dual normed $\mathbb{R}[Γ]$-modules V. In this paper, we extend the previous result to homomorphisms by proving the converse of the Mapping Theorem: a surjective group homomorphism $ϕ\colon Γ o K$ has amenable kernel H if and only if the induced inflation map $H^\bullet_b(K; V^H) o H^\bullet_b(Γ; V)$ is an isometric isomorphism for every dual normed $\mathbb{R}[Γ]$-module V. In addition, we obtain an analogous characterization for the (smaller) class of surjective group homomorphisms $ϕ\colon Γ o K$ with the property that the inflation maps in bounded cohomology are isometric isomorphisms for all Banach $Γ$-modules. Finally, we also prove a characterization of the (larger) class of boundedly acyclic homomorphisms, that is, the class of group homomorphisms $ϕ\colon Γ o K$ for which the restriction maps in bounded cohomology $H^\bullet_b(K; V) o H^\bullet_b(Γ; ϕ^{-1}V)$ are isomorphisms for a suitable family of dual normed $\mathbb{R}[K]$-modules V including the trivial $\mathbb{R}[K]$-module $\mathbb{R}$. We then extend the first and third results to topological spaces and obtain characterizations of amenable maps and boundedly acyclic maps in terms of the vanishing of the bounded cohomology of their homotopy fibers with respect to appropriate choices of coefficients.

연구 동기 및 목표

• 유계 코homology를 이용하여 존슨의 애매성 그룹 특성화를 군 준동형사상으로 확장하는 것.
• 등거리 동형사상에 의한 애매성 사상의 특성화를 통해 그로모프의 매핑 정리의 역을 증명하는 것.
• 적절한 계수의 클래스에 대해 유계 코homology에서의 동형사상에 의해 유계로 약한 순환성 준동형사상을 특성화하는 것.
• 호모토피 섬유와 유계 코homology를 이용하여 군에서 위상공간으로 결과를 일반화하는 것.
• 단순체적 체적에 응용하여, 순환성 조건 하에서 상대적 단순체적 체적이 영이 되는 것을 증명하는 것.

제안 방법

• 모든 쌍대 노름을 가진 ℝ[Γ]-모듈 V에 대해 Hᵇ•(K; Vᴴ) → Hᵇ•(Γ; V)의 확장 지압이 등거리 동형사상이 되는 것과 동치인 전사 군 준동형사상 φ: Γ → K가 애매한 핵 H를 가진다는 것을 증명한다.
• 사상 f: X → Y의 호모토피 섬유 F의 구조를 이용하여 f의 애매성과 π₁(F)의 애매성, 그리고 f*의 핵을 연결한다.
• 등거리 동형사상이 되는 확장 지압을 갖는 사상으로서 애매성 사상을 정의하며, 존슨의 특성화를 일반화한다.
• 제약 지압이 특정 계수의 클래스(ℝ 포함)에 대해 유계 코homology에서 동형사상이 되는 사상을 유계로 약한 순환성 사상으로 정의한다.
• 경계를 가진 다양체의 상대 유계 코homology에 결과를 적용하며, 유계 코homology의 장점 정렬을 사용한다.
• 유계 코homology와 일반 코homology 사이의 비교 사상으로 단순체적 체적의 영성과 유계 코homology의 영성을 연결한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 전사 군 준동형사상 φ: Γ → K가 모든 쌍대 노름을 가진 ℝ[Γ]-모듈 V에 대해 Hᵇ•(K; Vᴴ) → Hᵇ•(Γ; V)의 확장 지압이 등거리 동형사상이 되는 조건을 만족할 때, 언제 그 조건이 성립하는가?
• RQ2 사상 f: X → Y에 대한 위상적 애매성의 대응은 무엇이며, 유계 코homology를 통해 어떻게 특성화할 수 있는가?
• RQ3 어떤 군 준동형사상 φ: Γ → K가 특정 계수의 클래스에 대해 Hᵇ•(K; V) → Hᵇ•(Γ; φ⁻¹V)의 제약 지압이 동형사상이 되는가?
• RQ4 사상 f: X → Y의 호모토피 섬유 F의 유계 코homology는 f의 애매성 또는 순환성과 어떻게 관련이 있는가?
• RQ5 경계를 가진 다양체의 상대 단순체적 체적이 어떤 조건에서 영이 되며, 이는 유계 코homology와 어떻게 관련이 있는가?

주요 결과

• 전사 군 준동형사상 φ: Γ → K가 애매한 핵을 가진다. ⇔ 모든 쌍대 노름을 가진 ℝ[Γ]-모듈 V에 대해 Hᵇ•(K; Vᴴ) → Hᵇ•(Γ; V)의 확장 지압이 등거리 동형사상이 된다.
• 준동형사상 φ: Γ → K가 유계로 약한 순환성임은 모든 쌍대 노름을 가진 ℝ[K]-모듈 V에 대해 Hᵇ•(K; V) → Hᵇ•(Γ; φ⁻¹V)의 제약 지압이 동형사상이 되는 조건과 동치이며, 이는 ℝ 포함.
• 기저를 가진 경로로 연결된 공간 X → Y에 대한 사상 f는, 호모토피 섬유 F의 π₁(F)가 애매할 때에만 애매하다. 이는 존슨의 정리를 사상으로 일반화한 것이다.
• 사상 f: X → Y가 유계로 n-순환성임은, 모든 1 ≤ k ≤ n에 대해 Hᵇᵏ(F; ℝ) = 0을 만족할 때에만 성립한다.
• 포함 사상 i: ∂M → M의 호모토피 섬유 F가 유계로 (n−1)-순환성이라면, 모든 0 ≤ k ≤ n에 대해 Hᵇᵏ(M, ∂M; ℝ) = 0이다.
• 결과적으로, 경계 포함의 호모토피 섬유가 유계로 (n−1)-순환성이라면, 상대 단순체적 체적 ‖M, ∂M‖은 영이 된다.