[논문 리뷰] Amenability and paradoxical decompositions for pseudogroups and for discrete metric spaces

Tullio Ceccherini‐Silberstein, Rostislav Grigorchuk외 1명|arXiv (Cornell University)|2016. 03. 14.

Advanced Operator Algebra Research참고 문헌 79인용 수 83

한 줄 요약

이 논문은 허위군 및 이산 거리 공간에서의 유비성, 역설적 분할, 기하적 성질 간의 포괄적인 프레임워크를 수립한다. 허위군 형식 및 Hall-Rado 매칭 정리들을 사용하여, 유비성이 Følner 조건과 동치임을 증명하고, 이를 등고선 불등식, 랜덤 워크의 스펙트럼 갭, 국소적으로 유한한 거리 공간에서의 Gromov의 이중화 조건의 부정과 연결한다.

ABSTRACT

This is an expostion of various aspects of amenability and paradoxical decompositions for groups, group actions and metric spaces. First, we review the formalism of pseudogroups, which is well adapted to stating the alternative of Tarski, according to which a pseudogroup without invariant mean gives rise to paradoxical decompositions, and to defining a F{\\o}lner condition. Using a Hall-Rado Theorem on matchings in graphs, we show then for pseudogroups that existence of an invariant mean is equivalent to the F{\\o}lner condition; in the case of the pseudogroup of bounded perturbations of the identity on a locally finite metric space, these conditions are moreover equivalent to the negation of the Gromov's so-called doubling condition, to isoperimetric conditions, to Kesten's spectral condition for related simple random walks, and to various other conditions. We define also the minimal Tarski number of paradoxical decompositions associated to a non-amenable group action (an integer $\\ge 4$), and we indicate numerical estimates (Sections II.4 and IV.2). The final chapter explores for metric spaces the notion of supramenability, due for groups to Rosenblatt.

연구 동기 및 목표

• 허위군의 형식론 내에서 Tarski의 대안—비유비성 허위군은 역설적 분할을 허용한다—을 재구성한다.
• 국소적으로 유한한 거리 공간에 작용하는 허위군에 대해, 유비성과 Følner 조건 간의 동치성을 확립한다.
• 유비성과 등고선 프로파일, Kesten의 스펙트럼 조건, Gromov의 이중화 조건의 부정과 같은 기하적 및 스펙트럼 불변량 간의 연결을 수립한다.
• 비유비성 군 작용에서의 역설적 분할에 대한 최소 Tarski 수를 정의하고 추정한다.
• 허위군과 국소적으로 유한한 거리 공간으로의 초유비성 개념을 확장하고, 그 성장 유형과 임베딩에 대한 영향을 조사한다.

제안 방법

• 유한 접합 및 제한에 대해 닫혀 있는 집합 이론적 허위군의 형식론을 사용하여 군 작용과 거리 변형을 모델링한다.
• 그래프에서의 매칭에 관한 Hall-Rado 정리를 적용하여, 정 invariant 평균의 존재성이 허위군에서 Følner 조건과 동치임을 증명한다.
• 국소적으로 유한한 거리 공간에서의 항등원의 유계 변형을 핵심적인 허위군 클래스로 분석한다.
• Kesten의 단순 랜덤 워크 기준을 통해 Følner 조건을 등고선 부등식과 스펙트럼 갭과 연결한다.
• 조합적 및 기하 기법을 활용하여 비유비성 군의 Tarski 수를 추정하며, Ol’shanskii와 Burnside 구성에서 유도된 비순환군 및 순환군을 포함한다.
• Rosenblatt의 초유비성 개념을 허위군과 거리 공간으로 확장하고, 리프시츠 임베딩과 불변 측도를 사용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 허위군에서의 유비성은 Følner 조건과 동치인가? 이는 기하적 및 스펙트럼 성질과 어떻게 관련되는가?
• RQ2 비유비성 군 작용의 Tarski 수는 하한과 상한으로 둘 수 있으며, 가장 날카로운 추정치는 무엇인가?
• RQ3 초지수적 성장을 보이는 초유비성일 수 있는 국소적으로 유한한 거리 공간이 존재하는가?
• RQ4 국소적으로 유한한 거리 공간에서, 지수적, 초지수적 성장의 개념은 코arse 동치에 대해 불변인가?
• RQ5 두 초유비성 군의 직접곱은 항상 초유비성인가? 초유비성 군은 지수적 성장을 가질 수 있는가?

주요 결과

• 국소적으로 유한한 거리 공간에서의 유계 변형 허위군에 대해, 유비성은 Følner 조건, Gromov의 이중화 조건의 부정, 등고선 불등식과 동치이다.
• 비유비성 군의 Tarski 수는 $4 \leq \mathcal{T}(G) \leq \infty$ 를 만족하며, $\mathcal{T}(G) = 4$ 이다. $G$ 가 자유 비아벨 부분군을 포함할 때에만 성립한다.
• Ol’shanskii가 구성한 비순환군의 경우 $5 \leq \mathcal{T}(G) \leq 34$; 순환군의 경우 $6 \leq \mathcal{T}(G) \leq 34$.
• Burnside 군 $B(m,n)$ 에 대해 $m \geq 2$ 이고 홀수인 $n \geq 665$ 이면, Tarski 수는 $6 \leq \mathcal{T}(B(m,n)) \leq 14$ 를 만족한다.
• 초유비성일 뿐 아니라 초지수적 성장을 보이는 그래프가 존재함을 보여, 초유비성이 초지수적 성장을 함의하지는 않는다.
• 자유군 $F_m$ 의 아벨-아벨 또는 메타아벨-유한 몫의 최소 성장률은 $2m-1$ 에 가까워질 수 있으며, 이는 가능한 최대 비율이다.