[논문 리뷰] Amenability and weak amenability of the Fourier algebra

Brian Forrest, Volker Runde|ArXiv.org|2002. 11. 18.

Advanced Operator Algebra Research인용 수 18

한 줄 요약

이 논문은 국소 콪그룹 $G$의 푸리에 대수 $A(G)$가 애먼블리어인 것과 $G$가 유한 지수의 아벨 부분군을 가진 것 사이의 이항 조건을 증명하며, $G_e$가 아벨일 경우 항상 $A(G)$가 약한 애먼블리어임을 보인다. 주요 기여는 $A(G)$의 애먼블리어성에 대한 완전한 특성화로, 오랫동안 남아있던 추측을 해결하였고, $G_e$의 구조를 통한 약한 애먼블리어성에 대한 부분적 진전을 이룬다. 결과들은 연산자 공간 이론, 코homological 기법, 리군 및 SIN군의 구조 분석에 기반한다.

ABSTRACT

Let $G$ be a locally compact group. We show that its Fourier algebra $A(G)$ is amenable if and only if $G$ has an abelian subgroup of finite index, and that its Fourier-Stieltjes algebra $B(G)$ is amenable if and only if $G$ has a compact, abelian subgroup of finite index. We then show that $A(G)$ is weakly amenable if the component of the identity of $G$ is abelian, and we prove some partial results towards the converse.

연구 동기 및 목표

• 푸리에 대수 $A(G)$가 애먼블리어임은 $G$가 아벨 부분군을 유한 지수로 가진다 는 추측을 해결하기 위해.
• 특히 정체성 성분 $G_e$의 역할을 중심으로 하여 $A(G)$가 약한 애먼블리어임이 되는 조건을 조사하기 위해.
• 특히 $[\operatorname{SIN}]$-군의 맥락에서, $A(G)$에 대한 유전적 약한 애먼블리어성의 개념을 도입하고 연구하기 위해.
• $A(G)$의 약한 애먼블리어성과 $G_e$의 아벨 성질 사이의 구조적 연결 고리 수립을 위해, $[\operatorname{SIN}]$-군에 대해 역을 증명하기 위해.

제안 방법

• 이론적 유도를 이중 반복 범주론적 이중 모듈러에 의한 애먼블리어성의 조건을 제시한 존슨의 코homological 특성화를 사용하기 위해.
• 유계 근사 항등원의 존재에 기반하여, $A(G)$의 애먼블리어성을 특성화하기 위해 근사 대각선 기준을 적용하기 위해.
• 특히 $A(G)$에 대한 표준적인 연산자 공간 구조를 활용하여 약한 애먼블리어성을 분석하기 위해 연산자 공간 기법을 활용하기 위해.
• 리군 및 그 몫의 구조 분석을 통해, 특히 $[\operatorname{SIN}]$-군의 경우 $G_e \cong V \times K$ 분해를 사용하기 위해.
• 기존의 비아벨 컴팩트 군에 대한 결과를 활용하여, 컴팩트 정규부분군으로 몫을 취함으로써 문제를 컴팩트 연결 리군으로 환원하기 위해.
• 유전적 약한 애먼블리어성 하에서 $A(G)$가 $A(G/K)$로 유전됨을 이용하여 군의 구조에 대한 귀납적 추론을 가능하게 하기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 국소 콝그룹 $G$에 대해 푸리에 대수 $A(G)$가 어떤 조건에서 애먼블리어인가?
• RQ2 G가 아벨 부분군을 유한 지수로 가진다는 조건이 $A(G)$가 애먼블리어임에 필수적이고 충분한가?
• RQ3 $A(G)$가 약한 애먼블리어임이 되는 조건은 무엇이며, $G_e$의 아벨 성질이 약한 애먼블리어성으로 이어지는가?
• RQ4 $A(G)$가 약한 애먼블리어임이라면, 적어도 추가적인 군론적 가정 하에서 $G_e$는 아벨일까?
• RQ5 유전적 약한 애먼블리어성이 $A(G)$가 약한 애먼블리어임일 때 군 $G$의 구조를 특성화하는 데 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 푸리에 대수 $A(G)$는 $G$가 유한 지수의 아벨 부분군을 가질 때에만 애먼블리어이다.
• 푸리에-스틸티에즈 대수 $B(G)$는 $G$가 유한 지수의 컴팩트 아벨 부분군을 가질 때에만 애먼블리어이다.
• 만약 $G$의 정체성 성분 $G_e$가 아벨이면, $A(G)$는 약한 애먼블리어이다.
• $[\operatorname{SIN}]$-군의 경우, $A(G)$가 유전적 약한 애먼블리어임은 $G_e$가 아벨일 때에만 성립한다.
• $[\operatorname{SIN}]$-군이면서 $A(G)$가 유전적 약한 애먼블리어일 경우, 정체성 성분 $G_e$는 반드시 아벨이어야 한다.
• $[\operatorname{IN}]$-군의 경우, $A(G)$가 유전적 약한 애먼블리어일 경우, $G_e$는 컴팩트 정규부분군 $K$를 가지며, $G_e/K$는 아벨이다.