[논문 리뷰] Amenability and weak containment for actions of locally compact groups on $C^*$-algebras

Alcides Buss, Siegfried Echterhoff외 1명|arXiv (Cornell University)|2020. 03. 06.

Advanced Operator Algebra Research참고 문헌 54인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 국소 콪그룹의 C*-대수 위에서의 작용에 대한 새로운 애매성의 개념을 도입하며, 이는 이산군의 경우에 대한 Anantharaman-Delaroche의 정의를 일반화한다. 특히, 가환 C*-대수 위에서의 작용에 대해 이 애매성이 측도 기반 애매성과 동치임을 증명하며, 오랫동안 열려 있던 문제를 해결한다. 주요 결과는 Matsumura의 정리의 일반화이다: 국소 콩그룹 G가 국소 콩그룹 공간 X 위에 작용할 때, C₀(X)의 전체 및 축소 와일드곱이 일치하는 것은 물론이고, 작용이 애매할 때뿐이다.

ABSTRACT

In this work we introduce and study a new notion of amenability for actions of locally compact groups on $C^*$-algebras. Our definition extends the definition of amenability for actions of discrete groups due to Claire Anantharaman-Delaroche. We show that our definition has several characterizations and permanence properties analogous to those known in the discrete case. For example, for actions on commutative $C^*$-algebras, we show that our notion of amenability is equivalent to measurewise amenability. Combined with a recent result of Alex Bearden and Jason Crann, this also settles a long standing open problem about the equivalence of topological amenability and measurewise amenability for a second countable $G$-space $X$. We use our new notion of amenability to study when the maximal and reduced crossed products agree. One of our main results generalizes a theorem of Matsumura: we show that for an action of an exact locally compact group $G$ on a locally compact space $X$ the full and reduced crossed products $C_0(X) times_\max G$ and $C_0(X) times_{\operatorname{red}} G$ coincide if and only if the action of $G$ on $X$ is amenable. We also show that the analogue of this theorem does not hold for actions on noncommutative $C^*$-algebras. Finally, we study amenability as it relates to more detailed structure in the case of $C^*$-algebras that fibre over an appropriate $G$-space $X$, and the interaction of amenability with various regularity properties such as nuclearity, exactness, and the (L)LP, and the equivariant versions of injectivity and the WEP.

연구 동기 및 목표

• 국소 콩그룹의 C*-대수 위에서의 작용에 대한 새로운 애매성의 개념을 정의하고 연구하며, 이는 이산군의 경우를 확장하는 것이다.
• 이 애매성과 근사 성질 사이의 관계를 탐구하며, 특히 약한 포함과 와일드곱의 구조적 맥락에서 다룬다.
• Bearden와 Crann의 최근 결과를 활용하여, 제2 가산 G-공간에 대해 위상적 애매성과 측도 기반 애매성의 동치성을 해결한다.
• 최대와 축소 와일드곱이 일치하는 조건을 특별히 가환 C*-대수 위에서의 작용에 대해 특성화한다.
• 등변 설정에서 핵심성, 정확성, (L)LP 등의 규칙성 성질과의 연결을 탐색한다.

제안 방법

• L∞(G) ⊗̂ A** 에서 A** 로의 G-등변 조건 기대가 존재함을 통해 G-C*-대수 (A, α) 에 대한 애매성의 정의를 내린다.
• 환경 G-von Neumann 대수 구조를 사용하여 작용을 von Neumann 대수 설정으로 옮겨, 조건 기대를 통해 애매성을 분석할 수 있도록 한다.
• 이 애매성의 유지 성질을 이상, 몫, 직접 극한 등의 다양한 연산에 대해 수립한다.
• 가환 C*-대수의 경우, Bearden와 Crann의 결과를 활용하여 애매성이 측도 기반 애매성과 동치임을 증명한다.
• 약한 준중심 근사 성질(wQAP)을 사용하여 펠 범주적 구조와 애매성의 관계를 분석한다.
• Haagerup 표준 형식과 포함 표현을 사용하여 여집합 애매성과 약한 포함의 관계를 연구한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 국소 콩그룹의 C*-대수 위에서의 작용에 대한 새로운 애매성의 개념이 가환 C*-대수의 경우 측도 기반 애매성과 동치인가?
• RQ2 정확한 국소 콩그룹 G가 국소 콩그룹 공간 X 위에 작용할 때, C₀(X) ⋊ G 의 최대와 축소 와일드곱이 일치하는 것은 물론이고, 작용이 애매할 때뿐인가?
• RQ3 이산군의 비애매한 작용이 약한 포함 성질을 만족시킬 수 있는가?
• RQ4 G-C*-대수에 대해 여집합 애매성과 동치인 내재적 근사 성질이 존재하는가?
• RQ5 핵심 C*-대수 위에서의 여집합 애매성 작용이 축소 와일드곱의 핵심성을 유도하는가?

주요 결과

• 국소 콩그룹의 C*-대수 위에서의 작용에 대한 새로운 애매성의 개념은 C*-대수가 가환일 경우 측도 기반 애매성과 동치이다.
• 정확한 국소 콩그룹 G가 국소 콩그룹 공간 X 위에 작용할 때, C₀(X) ⋊max G 와 C₀(X) ⋊red G 의 전체 및 축소 와일드곱은 작용이 애매할 때뿐이 일치한다.
• 비가환 C*-대수에 대해서는 Matsumura의 정리의 동치가 성립하지 않는다: 작용의 애매성은 최대와 축소 와일드곱의 일치를 유도하지 않는다.
• Hausdorff 스펙트럼을 가진 유형 I C*-대수 위에서의 작용이 애매할 경우 강력한 애매성이 성립하며, 이는 가환 사례의 결과를 확장한다.
• 여집합 애매성은 애매성을 유도하지 않으며, 약한 포함 성질을 가진 비애매한 작용이 존재한다.
• 축소 와일드곱 A ⋊red G 의 핵심성이 A 의 핵심성을 유도하지만, G 가 특정 클래스(예: 내부 애매한 군)에 속하지 않는 한 작용의 애매성을 유도하지는 않는다.