[논문 리뷰] Amenable semigroups of nonexpansive mappings on weakly compact convex sets

Andrzej Wiśnicki|arXiv (Cornell University)|2016. 12. 19.

Optimization and Variational Analysis참고 문헌 9인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 바나흐 공간의 약하게 컴팩트한 볼록 부분집합에 작용하는 왼쪽 애문블 세미위상 세미군에 대한 고정점 정리들을 수립한다. 이는 $WAP(S)$, $LUC(S)$, 또는 $WAP(S) \bigcap LUC(S)$ 위에 왼쪽 불변 평균의 존재성이 비확장성 매핑에 대한 고정점 성질을 특성화함을 보여준다. 이는 [11]의 질문 4를 긍정적으로 해결하며, 히우의 고정점 정리가 이산 왼쪽 역전 가능 세미군에서 왼쪽 애문블 세미위상 세미군으로까지 확장됨을 보여준다.

ABSTRACT

We show a few fixed point theorems for semigroups acting on weakly compact convex subsets of Banach spaces when $LUC(S), AP(S), WAP(S)$ or $WAP(S)\cap LUC(S)$ have a left invariant mean. In particular, we give a characterization of semitopological semigroups that have a left invariant mean on the space of weakly almost periodic functions in terms of a fixed point property for nonexpansive mappings. It answers, in the case of Banach spaces, Question 4 of [A.T.-M. Lau, Y. Zhang, J. Funct. Anal. 263 (2012), 2949--2977] in affirmative. We also extend the fixed point theorem of R. Hsu from left reversible discrete semigroups to left amenable semitopological semigroups in Banach spaces.

연구 동기 및 목표

• 바나흐 공간에서 약하게 컴팩트한 볼록 부분집합에 작용하는 비확장성 매핑에 대한 고정점 성질을 통해 $WAP(S)$ 위에 왼쪽 불변 평균을 갖는 세미위상 세미군을 특성화하는 것.
• 이전에 $WAP(S)$ 및 $LUC(S)$에 대한 고정점 결과에서 요구되었던 분리 가능성 조건을 제거하는 것.
• 히우의 고정점 정리를 이산 왼쪽 역전 가능 세미군에서 왼쪽 애문블 세미위상 세미군으로까지 확장하는 것. 이는 바나흐 공간의 약하게 컴팩트한 볼록 집합을 대상으로 한다.
• $AP(S)$, $WAP(S)$, $LUC(S)$, 및 $WAP(S) \cap LUC(S)$ 위에 왼쪽 불변 평균의 존재성을 비확장성 세미군 작용의 고정점 성질을 통해 완전히 특성화하는 것.
• 미래 연구 방향으로, 라돈-니코다임 성질을 갖는 쌍대 바나흐 공간의 약하게 별도로 컴팩트한 볼록 부분집합에 대한 고정점 결과를 일반화하는 것.

제안 방법

• 유계 함수의 부분공간인 $AP(S)$, $WAP(S)$, $LUC(S)$ 및 그 교집합 위에서 왼쪽 불변 평균(LIM)의 개념을 활용한다.
• 약하게 별개로 연속적이며, 비확장성이고, 약하게 준등연속적인 작용에 대해 약하게 컴팩트한 볼록 집합 위에서 고정점 성질 $(F)$를 적용한다.
• $AP(S)$, $WAP(S)$, $LUC(S)$의 도입성 성질을 활용하여 이동에 따른 궤도 폐쇄가 함수 공간 내에 유지됨을 보장한다.
• 마즈르의 보조정리를 사용하여 약한 수열 수렴과 모순 추론을 통해 궤도 폐쇄 위에서의 작용의 약한 연속성을 증명한다.
• 적절한 부분공간 $X \subset \ell^\infty(S)$ 위에 LIM의 존재성이 $K$ 내 공통 고정점의 존재성과 연결되는 정리 3.6을 적용한다.
• 작용의 공동 약한 연속성과 비확장성 조건을 활용하여 궤도 함수 $f_y(s) = \|T_s x - x\|$ 가 $LUC(S)$ 및 $WAP(S)$ 에 속함을 보장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 분리 가능성 조건 없이, 바나흐 공간의 약하게 컴팩트한 볼록 부분집합에 작용하는 비확장성 세미군 작용에 대해 $WAP(S)$ 위에 왼쪽 불변 평균의 존재성이 고정점 성질을 특성화하는가?
• RQ2 히우의 고정점 정리가 왼쪽 역전 가능 이산 세미군에서 왼쪽 애문블 세미위상 세미군으로까지 확장 가능한가?
• RQ3 $LUC(S)$ 또는 $WAP(S) \cap LUC(S)$ 위에 왼쪽 불변 평균의 존재성과 비확장성 세미군 작용의 고정점 성질 사이의 관계는 무엇인가?
• RQ4 비확장성 작용에 대한 고정점 성질은 바나흐 공간의 약하게 컴팩트한 볼록 부분집합의 정상성과 어떻게 관련되는가?
• RQ5 $AP(S)$, $WAP(S)$, $LUC(S)$에 대한 고정점 결과는 어떤 정도까지 쌍대 바나흐 공간의 약하게 별도로 컴팩트한 볼록 부분집합으로 일반화될 수 있는가?

주요 결과

• 논문은 비확장성, 별개로 연속적인 작용에 대해 바나흐 공간의 약하게 컴팩트한 볼록 부분집합에서 고정점 성질 $(D)$ 를 통해 $WAP(S)$ 위에 왼쪽 불변 평균의 존재성을 완전히 특성화한다. 이는 [11]의 질문 4에 대해 긍정적인 답변을 제시한다.
• $LUC(S)$ 및 $WAP(S) \cap LUC(S)$에 대한 고정점 성질은 세미군 또는 집합 $K$의 분리 가능성 조건 없이도 성립함을 보여, 이전 결과에서 요구되었던 분리 가능성 조건을 제거하였다.
• 히우의 고정점 정리는 이산 왼쪽 역전 가능 세미군에서 왼쪽 애문블 세미위상 세미군으로까지 일반화되었으며, 이러한 세미군이 비확장성, 별개로 연속적인 작용을 하면 약하게 컴팩트한 볼록 부분집합에 공통 고정점을 가짐을 보였다.
• 고정점 성질 $(E)$ 가 $AP(S)$ 에 대해 성립하는 것과 $AP(S)$ 위에 왼쪽 불변 평균의 존재성이 동치임을 보였으며, 이 성질은 약하게 컴팩트한 볼록 부분집합의 정상성도 유도한다.
• 궤도 폐쇄 위에서 세미군의 작용이 약하게 준등연속임을 증명하였으며, 이는 고정점 성질 $(F)$ 를 적용하고 극한 함수의 약한 연속성을 확보하는 데 필수적이다.
• 결과는 라돈-니코다임 성질을 갖는 쌍대 바나흐 공간의 약하게 별도로 컴팩트한 볼록 부분집합으로까지 확장되었으며, 이는 이 틀이 더 넓은 범위로 적용 가능함을 시사한다.