[논문 리뷰] Ample groupoids: equivalence, homology, and Matui's HK conjecture

Carla Farsi, Alex Kumjian외 2명|arXiv (Cornell University)|2018. 08. 23.

Advanced Operator Algebra Research참고 문헌 29인용 수 26

한 줄 요약

이 논문은 단위 공간이 σ-콤팩트인 앰플 허프도르프 군oids에 대해 여러 군oids 동치 개념이 일치함을 증명하며, 이들이 호몰로지를 보존한다는 것을 보이고, 0차원 공간 위의 ℕᵏ 작용에 기반한 Deaconu–Renault 군oids의 호몰로지를 계산한다. 또한 k=1 또는 2인 경우와 공동소성 조건을 만족하는 단일 정점 k-그래프 군oids에 대해 Matui의 HK 추측을 검증하며, 인접 행렬에서 유도된 체인 복합체를 사용한다.

ABSTRACT

We investigate the homology of ample Hausdorff groupoids. We establish that a number of notions of equivalence of groupoids appearing in the literature coincide for ample Hausdorff groupoids, and deduce that they all preserve groupoid homology. We compute the homology of a Deaconu{Renault groupoid associated to k pairwisecommuting local homeomorphisms of a zero-dimensional space, and show that Matui's HK conjecture holds for such a groupoid when k is one or two. We specialise to k-graph groupoids, and show that their homology can be computed in terms of the adjacency matrices, using a chain complex developed by Evans. We show that Matui's HK conjecture holds for the groupoids of single vertex k-graphs which satisfy a mild joint-coprimality condition. We also prove that there is a natural homomorphism from the categorical homology of a k-graph to the homology of its groupoid.

연구 동기 및 목표

• 암플 허프도르프 군oids에 대해 문헌에 등장하는 군oids 동치의 다양한 개념을 통합하고 명확화하는 것.
• 이 동치 개념들이 암플 허프도르프 설정에서 군oids 호몰로지를 보존한다는 것을 확립하는 것.
• 0차원 공간 위의 ℕᵏ-작용에서 유도된 Deaconu–Renault 군oids의 호몰로지를 계산하는 것.
• k=1 또는 k=2인 경우 Deaconu–Renault 군oids에 대해 Matui의 HK 추측을 검증하는 것.
• 공동소성 조건을 만족하는 단일 정점 k-그래프 군oids에 대해 Matui의 HK 추측을 확장하여 검증하는 것.

제안 방법

• 전방 사상 $ \sigma^n_* $를 이용해 컴팩트 열린 집합 위에서 정의된 $ n $-체인을 $ \bigwedge^n\mathbb{Z}^k \otimes C_c(X,\mathbb{Z}) $ 에 놓고 체인 복합체 $ A^\tau $ 를 정의한다.
• Deaconu–Renault 군oids $ \mathcal{G}(X,\sigma) $ 의 호몰로지가 체인 복합체 $ A^\sigma_* $ 의 호몰로지와 자연스럽게 동형임을 증명한다.
• Kasparov의 스펙트럴 시퀀스와 Takai의 대칭성을 이용해 $ \mathcal{G}(X,\sigma) $ 의 호몰로지를 $ \mathbb{Z}^k $ 의 호몰로지와 $ K_0(C^*(\mathcal{G}(X,\sigma) \times_c \mathbb{Z}^k)) $ 를 계수로 하는 것으로 연결한다.
• Matui의 Künneth 정리를 적용하여 곱 군oids $ \mathcal{G}_\Lambda \cong \mathcal{G} \times \mathcal{H} $ 의 호몰로지를 계산하고, 문제를 텐서곱과 Tor 곱으로 환원한다.
• 수학적 귀납법과 $ \mathbb{Z}_m \otimes \mathbb{Z}_n \cong \mathbb{Z}_{\gcd(m,n)} $ 및 $ \operatorname{Tor}(\mathbb{Z}_m, \mathbb{Z}_n) \cong \mathbb{Z}_{\gcd(m,n)} $ 의 성질을 활용해 호몰로지 군을 계산한다.
• Evans의 복합체로부터 스펙트럴 시퀀스를 구성하여 $ C^*(\Lambda) $ 의 $ K_* $-이론과 $ \mathcal{G}_\Lambda $ 의 호몰로지를 연결하고, $ \gcd(N_1,\dots,N_k) = 1 $ 이면 시퀀스가 붕괴됨을 보인다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 암플 허프도르프 군oids에 대해 단위 공간이 σ-콤팩트인 경우, 문헌에 등장하는 군oids 동치 개념들 — 모리타, 유사성, 카쿠타니, 레우렌트 동치 — 이 일치하는가?
• RQ2 암플 허프도르프 군oids 설정에서 군oids 동치가 호몰로지를 보존하는가?
• RQ3 0차원 공간 위의 ℕᵏ-작용에 기반한 Deaconu–Renault 군oids의 호몰로지를 명시적으로 계산할 수 있는가?
• RQ4 k=1 또는 k=2인 경우 Deaconu–Renault 군oids에 대해 Matui의 HK 추측이 성립하는가?
• RQ5 단일 정점 k-그래프 군oids에 대해 Matui의 HK 추측이 성립하는 조건은 무엇인가?

주요 결과

• 암플 허프도르프 군oids에 대해 단위 공간이 σ-콤팩트인 경우, 표준적인 군oids 동치 개념들 — 모리타, 유사성, 카쿠타니, 레우렌트 — 이 모두 일치한다.
• 암플 허프도르프 군oids 설정에서 군oids 동치는 호몰로지를 보존하며, Crainic–Moerdijk의 결과와 Matui의 동형 정리에 의해 이를 확립한다.
• Deaconu–Renault 군oids $ \mathcal{G}(X,\sigma) $ 의 호몰로지는 체인 복합체 $ A^\sigma_* $ 의 호몰로지와 자연스럽게 동형이다.
• k=1 또는 k=2인 경우, 0차원 공간 위의 ℕᵏ-작용에 기반한 Deaconu–Renault 군oids에 대해 Matui의 HK 추측이 성립한다.
• 공동소성 조건을 만족하는 단일 정점 k-그래프 군oids에 대해, $ 0 \leq n \leq k-1 $ 에 대해 $ H_n(\mathcal{G}_\Lambda) \cong (\mathbb{Z}_{\gcd(N_1,\dots,N_k)})^{\binom{k-1}{n}} $ 이고, 그 외에는 0이다.
• 만약 $ \gcd(|\Lambda^{e_1}|-1, \dots, |\Lambda^{e_k}|-1) = 1 $ 이면, $ K_*(C^*(\Lambda)) $ 와 $ H_*(\mathcal{G}_\Lambda) $ 가 모두 영이 되며, 이는 $ C^*(\Lambda) \cong \mathcal{O}_2 $ 가 성립함을 의미한다 (단, 단순한 경우).