[논문 리뷰] An adaptive multi-fidelity PC-based ensemble Kalman inversion for inverse problems

Liang Yan, Tao Tang|arXiv (Cornell University)|2018. 09. 21.

Probabilistic and Robust Engineering Design참고 문헌 23인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 고차원 비선형 PDE에 의해 지배되는 역문제를 해결할 때 계산 비용을 줄이기 위해 적응형 다중 정밀도 다항 chaos (PC)-기반 앙상블 칼만 역행렬 (EKI) 방법을 제안한다. 몇 차례의 고정밀도 모델 평가만을 사용하여 저차수 PC 대체모형을 적응적으로 구축하고 정밀도를 높임으로써, 저비용의 대체모형 실현을 통해 수많은 효율적인 EKI 업데이트를 가능하게 하여, 기존의 표준 EKI 및 PC 기반 EKI에 비해 뛰어난 정확도와 효율성을 달성한다.

ABSTRACT

The ensemble Kalman inversion (EKI), as a derivative-free methodology, has been widely used in the parameter estimation of inverse problems. Unfortunately, its cost may become moderately large for systems described by high dimensional nonlinear PDEs, as EKI requires a relatively large ensemble size to guarantee its performance. In this paper, we propose an adaptive multi-fidelity polynomial chaos (PC) based EKI technique to address this challenge. Our new strategy combines a large number of low-order PC surrogate model evaluations and a small number of high-fidelity forward model evaluations, yielding a multi-fidelity approach. Especially, we present a new approach that adaptively constructs and refines a multi-fidelity PC surrogate during the EKI simulation. Since the forward model evaluations are only required for updating the low-order multi-fidelity PC model, whose number can be much smaller than the total ensemble size of the classic EKI, the entire computational costs are thus significantly reduced. The new algorithm was tested through the two-dimensional time fractional inverse diffusion problems and demonstrated great effectiveness in comparison with PC based EKI and classic EKI.

연구 동기 및 목표

• 고차원 비선형 PDE 제약 조건이 있는 역문제에서 앙상블 칼만 역행렬 (EKI)의 높은 계산 비용을 해결하기 위해.
• 대체모형 모델링을 활용하여 EKI에서 비용이 많이 드는 고정밀도 전진 모델 평가에 대한 의존도를 줄이기 위해.
• EKI 반복 과정 동안 반복적으로 정밀도를 높이는 적응형 다중 정밀도 PC 대체모형을 개발하기 위해.
• 신뢰할 수 있는 공분산 추정을 위해 높은 앙상블 크기를 유지하면서도, 고비용의 고정밀도 시뮬레이션 횟수를 크게 줄이기 위해.
• 시간 분수형 역확산 문제에 대해 이 방법의 효과성을 입증하고 수렴성 향상과 오차 감소를 보여주기 위해.

제안 방법

• 저차수 다항 chaos 전개와 소수의 고정밀도 전진 모델 평가를 조합하여 다중 정밀도 PC 대체모형을 구축한다.
• 각 EKI 반복 과정에서 업데이트된 매개변수 추정치를 사용하여 대체모형을 적응적으로 정밀도를 높인다.
• 반복적인 앙상블 업데이트를 저비용으로 정밀도가 높은 다중 정밀도 PC 대체모형의 수많은 실현을 통해 수행하여 반복적인 고정밀도 평가를 피한다.
• 고정밀도 모델은 대체모형의 업데이트 및 정밀도 향상에만 사용되며, 앙상블 멤버 각각에 대해선 사용되지 않아 총 계산 비용을 크게 줄인다.
• 적응형 정밀도 향상 전략을 반복 정규화 EKI와 통합하여 비선형 설정에서도 안정적인 수렴을 가능하게 한다.
• 대체모형 정확도를 제어하고 수렴성을 보장하기 위해 신뢰영역 유사 허용오차 기준을 사용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 EKI 반복 과정 중 다중 정밀도 PC 대체모형을 적응적으로 정밀도를 높여 고정밀도 모델 평가에 대한 의존도를 줄일 수 있는가?
• RQ2 저차수 PC 대체모형과 최소한의 고정밀도 평가를 조합함으로써 고차원 역문제에서 EKI의 정확도와 효율성이 향상되는가?
• RQ3 적응형 다중 정밀도 PC 기반 EKI는 표준 EKI 및 PC 기반 EKI에 비해 계산 비용과 재구성 오차 측면에서 어떻게 비교되는가?
• RQ4 소수의 고정밀도 평가와 큰 앙상블 크기를 유지하면서도 이 방법이 안정적인 수렴과 정확한 매개변수 추정을 유지할 수 있는가?
• RQ5 대체모형의 차수와 정밀도 향상 전략은 최종 역행렬 정확도와 계산 효율성에 어떤 영향을 미치는가?

주요 결과

• 적응형 다중 정밀도 PC (AMPC) 방법은 고정밀도 평가 46회와 대체모형 평가 157회만으로 상대 오차 0.0889를 달성하여, N=3일 때 상대 오차 0.2146, N=2일 때 0.3430을 기록한 PC 기반 EKI보다 뛰어난 성능을 보였다.
• AMPC의 총 계산 시간은 13.04초였고, N=3일 때 PC 기반 EKI의 263.20초에 비해 뚜렷이 감소하였다.
• AMPC는 더 낮은 대체모형 차수(N=1)와 훨씬 적은 고정밀도 평가 횟수(46회 대비 4600회)를 사용하면서도 PC 기반 EKI(N=3)보다 더 높은 정확도를 달성했다.
• 전통적인 EKI에서 고정밀도 모델 평가 횟수 5700회에서 AMPC에서는 고정밀도 평가 횟수를 단 46회로 줄여 비용이 많이 드는 시뮬레이션 횟수를 99.2% 감소시켰다.
• 적응형 정밀도 향상 전략은 소수의 고정밀도 입력으로 정확한 대체모형을 만들 수 있게 하였으며, 낮은 앙상블 크기에도 불구하고 신뢰할 수 있는 앙상블 공분산 추정치를 유지했다.
• 2D 시간 분수형 역확산 문제에 대한 수치 결과는 AMPC가 전통적인 EKI 및 PC 기반 EKI보다 더 정확한 재구성을 제공하며 계산 비용을 크게 줄였음을 확인했다.