[논문 리뷰] An adaptive multiresolution discontinuous Galerkin method with artificial viscosity for scalar hyperbolic conservation laws in multidimensions

Juntao Huang, Yingda Cheng|arXiv (Cornell University)|2019. 06. 03.

Computational Fluid Dynamics and Aerodynamics참고 문헌 52인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 다차원에서 스칼라 비선형 쌍대성 보존법칙을 해결하기 위해 인위적 점성과 함께 적응형 다중해상도 불연속 갈레르킨(DG) 방법을 제안한다. 다중파acket을 이용한 보간 기반 기법을 활용해 비선형 적분을 효율적으로 계산함으로써, 매끄러운 해에 대해서는 희박 격자와 유사한 계산 복잡도를 달성하면서도, 잎 수준 요소에 국소적으로만 인위적 점성을 적용하여 안정성과 정확성을 유지한다.

ABSTRACT

In this paper, we develop an adaptive multiresolution discontinuous Galerkin (DG) scheme for scalar hyperbolic conservation laws in multidimensions. Compared with previous work for linear hyperbolic equations \cite{guo2016transport, guo2017adaptive}, a class of interpolatory multiwavelets are applied to efficiently compute the nonlinear integrals over elements and edges in DG schemes. The resulting algorithm, therefore can achieve similar computational complexity as the sparse grid DG method for smooth solutions. Theoretical and numerical studies are performed taking into consideration of accuracy and stability with regard to the choice of the interpolatory multiwavelets. Artificial viscosity is added to capture the shock and only acts on the leaf elements taking advantages of the multiresolution representation. Adaptivity is realized by auto error thresholding based on hierarchical surplus. Accuracy and robustness are demonstrated by several numerical tests.

연구 동기 및 목표

• 기존의 적응형 다중해상도 DG 방법이 비선형 쌍대성 보존법칙에 대해 전체 미세 격자 연산이 필요로 하면서도 자유도가 감소한 상태임에도 불구하고 계산 비효율성을 해결한다.
• 매끄러운 해에 대해 희박 격자 DG 방법과 유사한 계산 복잡도를 달성함으로써 효율적인 계산을 가능하게 하며, 자유도를 O(h⁻ᵈ)에서 O(h⁻¹|log₂h|ᵈ⁻¹)로 감소시킨다.
• 다중해상도 계층에서 잎 수준 요소에만 국소적으로 인위적 점성을 통합하여 충격을 포착하면서 매끄러운 영역의 정확성을 손상시키지 않는다.
• 다중스케일 계수를 단일스케일 표현으로 변환하는 것을 피하고, 시간 진화 전반에 걸쳐 다중해상도 구조를 유지하는 프레임워크를 개발한다.
• 다차원 스칼라 보존법칙에 대한 수치 실험을 통해 충격이 있는 경우와 매끄러운 해가 있는 경우 모두에서 강력성과 정확성을 입증한다.

제안 방법

• 중첩된 계층적 격자에서 보간 기반 다중파acket을 사용하여 다중해상도 프레임워크 내에서 해 계수를 표현함으로써, 계층적 초과량 기반으로 적응형 압축을 가능하게 한다.
• 희박 격자 체계를 활용해 비선형 유량 적분을 효율적으로 계산함으로써 전체 미세 격자 조립을 피하고, 매끄러운 해에 대해 O(h⁻¹|log₂h|ᵈ⁻¹)의 복잡도를 유지한다.
• 다중해상도 트리의 잎 수준 요소에만 인위적 점성을 적용하여 충격 해석을 보장하면서도 매끄러운 영역에 영향을 주지 않는다.
• 계층적 격자 위에서 불연속 다항식 기저 함수를 사용하여 DG 스킴을 구성하고, 각 요소와 모서리에서 수치 적분을 통해 수치 유량을 계산한다.
• 계층적 초과량 기반 자동 오차 임계값 설정을 통해 사후 적응성을 구현하여 외부 오차 지표 없이도 동적으로 격자를 세밀화하거나 굴곡시킨다.
• 특히 비선형 항과 충격 포착에 대해 이론적 분석을 통해 보간 기반 다중파acket의 선택이 안정성과 정확성에 미치는 영향을 확보한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 적응형 다중해상도 DG 방법이 다차원 비선형 보존법칙에서 매끄러운 해에 대해 희박 격자 DG 방법과 동일한 계산 복잡도를 달성할 수 있는가?
• RQ2 다중해상도 프레임워크에서 인위적 점성을 어떻게 국소화하여 충격을 효과적으로 포착하면서도 매끄러운 해의 정확성을 떨어뜨리지 않을 수 있는가?
• RQ3 보간 기반 다중파acket의 선택이 DG 프레임워크 내에서 비선형 유량 계산의 안정성과 정확성에 미치는 영향은 어떠한가?
• RQ4 비선형 항에 대해 전체 미세 격자 연산을 피하면서도 비선형 보존 문제에서 정확성과 안정성을 유지할 수 있는가?
• RQ5 비선형 항에 대해 전체 미세 격자 연산이 필요한 기존의 적응형 다중해상도 DG 방법과 비교할 때, 제안된 방법은 효율성과 정확성 면에서 어떻게 다른가?

주요 결과

• 제안된 방법은 매끄러운 해에 대해 O(h⁻¹|log₂h|ᵈ⁻¹)의 계산 복잡도를 달성하여 다차원에서 희박 격자 DG 방법과 동일한 효율성을 확보한다.
• 인위적 점성은 다중해상도 트리의 잎 수준 요소에만 적용되어 충격을 효과적으로 포착하면서도 매끄러운 영역의 정확성을 유지한다.
• 보간 기반 다중파acket의 사용을 통해 요소와 모서리에서 비선형 적분을 효율적으로 계산할 수 있었고, 다중스케일 계수를 단일스케일 표현으로 변환할 필요가 없어졌다.
• 수치 실험을 통해 다차원 스칼라 보존법칙에서 충격이 있는 문제와 매끄러운 해가 있는 문제 모두에서 강력성과 높은 정확성을 입증하였다.
• 이론적 분석을 통해 보간 기반 다중파acket의 선택이 비선형 유량 항에 대해 스킴의 안정성과 정확성에 기여하는 것으로 확인되었다.
• 적응성은 계층적 초과량 기반 자동 임계값 설정을 통해 달성되어 외부 사후 오차 지표가 필요로 하지 않는다.