[논문 리뷰] An adaptive reduced basis collocation method based on PCM ANOVA decomposition for anisotropic stochastic PDEs

Heyrim Cho, Howard C. Elman|arXiv (Cornell University)|2017. 09. 25.

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한 줄 요약

이 논문은 계산 비용을 줄이기 위해 PCM-ANOVA 분해를 사용하여 이방성 확률적 PDE에 대한 적응형 감소 기저 콜로케이션 방법을 제안한다. 이 방법은 차원 적응형 ANOVA 분해와 매개변수 방향에서의 다항식 차수 적응을 결합하여 효율적인 오차 제어와 감소 기저 정렬을 가능하게 하며, 경계층이 있는 대류-확산 기준 문제에서 훨씬 적은 콜로케이션 점 수로 높은 정확도를 달성한다.

ABSTRACT

The combination of reduced basis and collocation methods enables efficient and accurate evaluation of the solutions to parameterized PDEs. In this paper, we study the stochastic collocation methods that can be combined with reduced basis methods to solve high-dimensional parameterized stochastic PDEs. We also propose an adaptive algorithm using a probabilistic collocation method (PCM) and ANOVA decomposition. This procedure involves two stages. First, the method employs an ANOVA decomposition to identify the effective dimensions, i.e., subspaces of the parameter space in which the contributions to the solution are larger, and sort the reduced basis solution in a descending order of error. Then, the adaptive search refines the parametric space by increasing the order of polynomials until the algorithm is terminated by a saturation constraint. We demonstrate the effectiveness of the proposed algorithm for solving a stationary stochastic convection-diffusion equation, a benchmark problem chosen because solutions contain steep boundary layers and anisotropic features. We show that two stages of adaptivity are critical in a benchmark problem with anisotropic stochasticity.

연구 동기 및 목표

• 공간 해상도와 확률적 차원의 증가로 인해 고차원 이방성 확률적 PDE를 풀이하는 데 발생하는 높은 계산 비용을 해결한다.
• 확률적 공간에서 적응형 샘플링을 결합한 효율적인 감소 기저 방법을 개발한다.
• 확률적 콜로케이션 방법에서 고정된 다항식 차수로 인해 오차 감소가 정체되는 문제를 해결한다.
• ANOVA 지표를 사용하여 오차 기여도의 크기 순으로 감소 기저 해를 자동으로 정렬할 수 있도록 한다.
• 경계층과 불연속성이 있는 확률적 PDE, 예를 들어 대류-확산 방정식의 경우 정확한 모멘트 추정을 달성한다.

제안 방법

• 해의 분산에 기여도가 높은 효과적인 매개변수 부분공간을 식별하기 위해 ANOVA 분해를 적용한다.
• ANOVA 지표를 사용하여 매개변수 방향을 순위 매기고, 오차 기여도가 높은 순서로 감소 기저 해를 정렬한다.
• 이중 단계 적응 알고리즘을 구현한다: 먼저 효과적인 확률적 차원을 적응적으로 선택하고, 그 다음 해당 방향에서 다항식 차수 p를 증가시킨다.
• 고차원 적분을 위해 희소 격자 점을 사용하는 확률적 콜로케이션 방법(PCM)을 적용하며, 동적으로 매개변수 공간을 정밀화한다.
• 다음 다항식 차수 증가가 오차 감소에 거의 기여하지 않을 경우에 정지시키기 위해 포화 조건을 사용한다.
• 감소 기저 투영과 적응형 PCM을 결합하여 온라인 계산 비용을 최소화하면서도 통계적 모멘트의 정확도를 유지한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 ANOVA 분해는 이방성 PDE에서 효과적인 확률적 차원을 식별하고 우선순위를 정하는 데 어떻게 활용될 수 있는가?
• RQ2 PCM 기반 감소 기저 방법에서 다항식 차수 적응 정밀화의 영향은 오차 수렴성과 계산 비용에 어떤가?
• RQ3 감소 기저 해를 ANOVA 기반으로 정렬하는 것이 그리드 유형의 방법에 비해 계산 비용을 줄일 수 있는가?
• RQ4 이중 단계 적응 전략(차원 및 차수 적응)은 경계층과 불연속성이 있는 PDE의 정확도와 효율성을 어떻게 향상시키는가?
• RQ5 제안된 방법은 주어진 오차 허용 오차를 달성하기 위해 필요한 콜로케이션 점 수를 얼마나 줄일 수 있는가?

주요 결과

• ν = 1/20일 때, 적응형 p 방법은 10×10 격자에서 콜로케이션 점 수를 153에서 35로 줄였으며, εRB = 10−3.5를 유지했다.
• ν = 1/20이고 εRB = 10−3.5일 때, 적응형 방법은 고정된 p=9과 M=100 차원을 사용한 경우의 25,410에 비해 단지 288개의 검색 점만을 필요로 하였다.
• 적응형 알고리즘이 경계층과 불연속성과 같은 해의 비정규성과 관련된 확률적 방향을 탐지하고 우선순위를 정했다.
• ANOVA 기반 정렬 덕분에 감소 기저 스타트점 수가 감소하였으며, ν=1/20에서 εRB=10−3.5일 때 Nr = 16으로, 고정된 p=9일 때의 191에 비해 줄어들었다.
• ν=1/20에서 εRB=10−3.5일 때, 모멘트 오차 eµ ≈ 1.0×10−3 및 eσ ≈ 2.5×10−2를 달성하여 높은 정확도를 입증하였다.
• 계산 시간이 크게 감소하였으며, ν=1/2일 때 10×10 격자에서 적응형 방법은 고정된 p=9일 때의 38,880에 비해 단지 512개의 검색 점만을 요구하였다.