[논문 리뷰] An Adaptive Version of Brandes' Algorithm for Betweenness Centrality

Matthias Bentert, Alexander J. Dittmann외 3명|arXiv (Cornell University)|2018. 01. 01.

Complex Network Analysis Techniques인용 수 2

한 줄 요약

이 논문은 입력 그래프의 피드백 에지 수 k에 대해 O(kn) 시간 복잡도를 가지는 적응형 중심성 알고리즘을 제안한다. 이전의 도로 한정 정점에 대한 사전 처리를 최대 유도 경로 상의 도로 두 개 정점으로 확장함으로써 동적 프로그래밍을 사용하여, 흩어진 트리 유사 그래프에서 Brandes의 O(nm) 알고리즘보다 증명 가능하게 더 낫게 빠른 최악의 경우 복잡도를 달성한다.

ABSTRACT

Betweenness centrality - measuring how many shortest paths pass through a vertex - is one of the most important network analysis concepts for assessing the relative importance of a vertex. The well-known algorithm of Brandes [2001] computes, on an n-vertex and m-edge graph, the betweenness centrality of all vertices in O(nm) worst-case time. In follow-up work, significant empirical speedups were achieved by preprocessing degree-one vertices and by graph partitioning based on cut vertices. We further contribute an algorithmic treatment of degree-two vertices, which turns out to be much richer in mathematical structure than the case of degree-one vertices. Based on these three algorithmic ingredients, we provide a strengthened worst-case running time analysis for betweenness centrality algorithms. More specifically, we prove an adaptive running time bound O(kn), where k < m is the size of a minimum feedback edge set of the input graph.

연구 동기 및 목표

• 희박한 실세계 네트워크에서 중심성 중심성을 계산하는 데 있어 이론적으로 향상된 알고리즘을 개발하기 위해.
• 단순한 도로 한정 정점보다 더 복잡한 최단 경로 계산에서의 도로 두 개 정점의 계산적 과제를 해결하기 위해.
• 입력 그래프의 구조적 희박성에 따라 적응 가능한 최악의 경우 실행 시간 분석을 제공하기 위해.
• 이전의 도로 한정 정점 사전 처리 및 컷 정점 사용을 확장하여 도로 두 개 정점을 알고리즘 최적화에 포함시키기 위해.
• 피드백 에지 수 k에 기반한 새로운 파rameterized 상한을 설정하여, 선형 시간과 Brandes의 원래 상한 사이를 보간하기 위해.

제안 방법

• 도로 한정 정점의 수축을 통해 그래프를 사전 처리하여 중심성 중심성 값에 영향을 주지 않으면서 그래프 크기를 줄인다.
• 최대 유도 경로 상의 도로 두 개 정점을 동적 프로그래밍을 사용해 식별하고 처리하여 중심성 중심성 기여도를 효율적으로 계산한다.
• 연속된 정점 간의 경로 기여도 차이를 상수 시간 내에 계산하기 위해 동적 프로그래밍 테이블을 사용한다.
• 사전 계산된 테이블(W_left, W_right)을 활용하여 최대 경로 외부 정점의 중심성 기여도를 |V(P_max)| 시간 내에 계산한다.
• V≥3(G)에 속한 정점 쌍을 고려하기 위해 Inc[s,t] 값을 유지함으로써 도로 두 개 이상의 정점으로부터의 기여도를 누적하는 후처리 단계를 통합한다.
• 도로 한정 정점 수축, 컷 정점 분할, 도로 두 개 정점 경로 처리 결과를 통합하여 O(kn) 시간 및 공간 복잡도를 가지는 통합 알고리즘으로 조합한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 도로 두 개 정점은 중심성 중심성에 대한 증명 가능하게 더 낫게 빠른 최악의 경우 시간 복잡도를 달성할 수 있는 방식으로 처리될 수 있는가?
• RQ2 도로 두 개 정점 처리를 적응형 알고리즘에 통합하면, 희박한 그래프에서 Brandes의 O(nm) 보다 더 낫게 빠른 실행 시간 상한을 달성할 수 있는가?
• RQ3 피드백 에지 수 k는 중심성 중심성에 대한 적응형 복잡도 상한을 가능하게 하는 적절한 구조적 매개변수인가?
• RQ4 최대 유도 경로 상의 도로 두 개 정점에 대한 동적 프로그래밍을 사용해 각 경로당 선형 시간 내에 중심성 기여도를 계산할 수 있는가?
• RQ5 도로 한정 정점, 컷 정점, 도로 두 개 정점의 사전 처리를 통합하면 전체 점근적 성능에 어떤 영향을 미치는가?

주요 결과

• 제안된 알고리즘은 피드백 에지 수 k에 대해 O(kn) 시간 내에 실행되며, Brandes의 O(nm) 알고리즘보다 증명 가능하게 더 낫게 빠른 최악의 경우 상한을 제공한다.
• k가 상수인 그래프, 예를 들어 트리(k = 0)에서는 선형 시간을 달성하고, 밀도가 높은 그래프(k ≈ m)에서는 O(nm)에 수렴한다.
• 최대 유도 경로 상의 도로 두 개 정점에 대한 동적 프로그래밍 접근법을 통해 그 중심성 기여도를 |V(P_max)| 시간 내에 계산할 수 있다.
• 사전 계산된 W_left 및 W_right 테이블의 사용은 경로 기여도 차이의 상수 시간 업데이트를 가능하게 하여, 각 경로당 선형 시간 처리에 핵심적이다.
• 도로 한정 정점 사전 처리, 컷 정점, 도로 두 개 정점 처리를 통합하여 O(kn) 시간 및 공간 복잡도를 가지는 통합 프레임워크로 알고리즘을 통합한다.
• 이론적 향상은 k = m − n + 1이 작은 트리 유사 그래프에서 가장 두드러지며, 학술 지도자 네트워크나 기업 소유 구조도와 같은 그래프에서 나타난다.