[논문 리뷰] An ADMM Algorithm for Solving l_1 Regularized MPC

Mariette Annergren, Anders Hansson외 1명|arXiv (Cornell University)|2012. 03. 19.

Sparse and Compressive Sensing Techniques참고 문헌 22인용 수 24

한 줄 요약

이 논문은 예측 수평선에 대해 선형 복잡도를 가지며 빠르게 수렴하는, ℓ1 정규화된 모델 예측 제어(MPC) 문제를 해결하기 위한 ADMM 알고리즘을 제안한다. 이 알고리즘은 가장 계산 비용이 높은 단계인 타당 집합 위로의 사영 단계를 효율적으로 처리하기 위해 리카티 재귀를 활용한다. 이로 인해 실시간 MPC 응용 분야에서 희소 제어 입력을 갖는 데 적합한 중간 정확도 해에 빠르게 수렴한다.

ABSTRACT

We present an Alternating Direction Method of Multipliers (ADMM) algorithm for solving optimization problems with an l_1 regularized least-squares cost function subject to recursive equality constraints. The considered optimization problem has applications in control, for example in l_1 regularized MPC. The ADMM algorithm is easy to implement, converges fast to a solution of moderate accuracy, and enables separation of the optimization problem into sub-problems that may be solved in parallel. We show that the most costly step of the proposed ADMM algorithm is equivalent to solving an LQ regulator problem with an extra linear term in the cost function, a problem that can be solved efficiently using a Riccati recursion. We apply the ADMM algorithm to an example of l_1 regularized MPC. The numerical examples confirm fast convergence to moderate accuracy and a linear complexity in the MPC prediction horizon.

연구 동기 및 목표

• 재귀적 등식 제약 조건이 있는 ℓ1 정규화된 MPC에 대한 효율적인 최적화 알고리즘을 개발하기 위해.
• ADMM의 계산 블로킹 문제를 해결하기 위해, 사영 단계가 추가 선형 항을 가진 LQ 조절기 문제로 축소됨을 보여주기 위해.
• 예측 수평선에 대해 선형 복잡도를 확보하고 수렴 속도를 높여 실시간 MPC를 가능하게 하기 위해.
• ADMM에서 중간 정확도 해가 고정밀도 해와 유사한 제어 성능을 보임을 입증하기 위해.
• 희소 입력 신호를 갖는 ℓ1 정규화된 최적 제어 문제에 대해 ADMM의 적용 가능성을 확장하기 위해.

제안 방법

• ADMM 알고리즘은 재귀적 상태 및 입력 동역학 제약 조건이 있는 ℓ1 정규화된 최소제곱 최적화에 적용된다.
• ADMM의 핵심 단계인 타당 집합 위로의 사영은 추가 선형 비용 항을 가진 선형-제곱 조절기 문제를 푸는 것으로 재구성된다.
• 리카티 재귀를 사용하여 사영 하위 문제를 효율적으로 해결함으로써 예측 수평선을 거쳐 뒤에서부터 앞쪽으로의 스윕을 가능하게 한다.
• 리카티 재귀는 ADMM 반복마다 한 번만 계산되고 모든 반복에 재사용되며, IP나 액티브 세트 방법과 달리 반복마다 재계산이 필요로 하지 않는다.
• 불안정한 시스템의 경우, 리카티 재귀의 수치적 안정성을 확보하기 위해 상태 피드백 사전 안정화를 적용한다.
• 알고리즘은 예측 수평선을 다양하게 설정한 MPC 예제에 대해 구현되고 테스트되어 수렴성과 계산 비용을 평가한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 재귀적 동역학 제약 조건이 있는 ℓ1 정규화된 MPC에 대해 ADMM를 효율적으로 적용할 수 있는가?
• RQ2 ADMM에서 가장 계산 비용이 높은 단계가 추가 선형 항을 가진 LQ 조절기 문제로 동일한가?
• RQ3 제안된 방법이 예측 수평선 H에 대해 선형 복잡도를 갖는가?
• RQ4 ADMM 알고리즘이 실시간 MPC에 적합한 중간 정확도 해에 얼마나 빨리 수렴하는가?
• RQ5 단지 10회의 ADMM 반복 후에 얻은 해가 1000회의 반복 후 해와 유사한 제어 성능을 보일 수 있는가?

주요 결과

• ADMM 알고리즘은 빠르게 수렴하며, 20회 이내로 전진 및 이중 잔차가 급격히 감소한다.
• 수치 실험을 통해 H = 5에서 100까지의 범위에서 ADMM 반복당 계산 비용이 예측 수평선 H에 대해 선형으로 증가하는 것으로 확인되었다.
• 단지 10회의 ADMM 반복 후에 얻은 해가 1000회의 반복 후 해와 거의 동일한 제어 성능을 보이며, 100 Hz 샘플링 주기를 가능하게 한다.
• ADMM에서 가장 비용이 많이 드는 단계는 추가 선형 항을 가진 LQ 조절기 문제를 푸는 것과 동일하며, 이는 리카티 재귀를 통해 효율적으로 해결된다.
• 리카티 재귀는 IP나 액티브 세트 방법과 달리 모든 ADMM 반복에 재사용될 수 있으며, 반복마다 재계산하거나 업데이트가 필요로 하지 않는다.
• 불안정한 시스템의 경우, 상태 피드백을 통한 사전 안정화를 통해 리카티 재귀의 수치적 안정성을 확보할 수 있으며, 원래 문제의 구조는 변경되지 않는다.