[논문 리뷰] An Algebraic Approach to a Class of Rank-Constrained Semi-Definite Programs With Applications

Matthew W. Morency, Sergiy A. Vorobyov|arXiv (Cornell University)|2016. 10. 07.

Antenna Design and Optimization참고 문헌 1인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 실용적 제약 조건(예: 노드 샤피ング)이 부여된 다항수 구조를 활용하여 랭크 제약이 있는 준정형 프로그래밍(SDPs)을 정확하게 해결하는 대수적 방법을 제안한다. 원하는 랭크와 동일한 차수를 갖는 다항식 공간으로 해의 공간을 제한함으로써 문제는 볼록으로 변환되며, 정확한 해를 구할 수 있고 간단한 행렬 분해를 통해 원래의 해를 복원할 수 있다. 이는 기존 방법에 비해 빔포밍 응용에서 부시드로브 억제 성능을 크게 향상시킨다.

ABSTRACT

A new approach to solving a class of rankconstrained semi-definite programming (SDP) problems, which appear in many signal processing applications such as transmit beamspace design in multiple-input multiple-output (MIMO) radar, downlink beamforming design in MIMO communications, generalized sidelobe canceller design, phase retrieval, etc., is presented. The essence of the approach is the use of underlying algebraic structure enforced in such problems by other practical constraints such as, for example, null shaping constraint. According to this approach, instead of relaxing the non-convex rankconstrained SDP problem to a feasible set of positive semidefinite matrices, we restrict it to a space of polynomials whose dimension is equal to the desired rank. The resulting optimization problem is then convex as its solution is required to be full rank, and can be efficiently and exactly solved. A simple matrix decomposition is needed to recover the solution of the original problem from the solution of the restricted one. We show how this approach can be applied to solving some important signal processing problems that contain null-shaping constraints. As a byproduct of our study, the conjugacy of beamfoming and parameter estimation problems leads us to formulation of a new and rigorous criterion for signal/noise subspace identification. Simulation results are performed for the problem of rank-constrained beamforming design and show an exact agreement of the solution with the proposed algebraic structure, as well as significant performance improvements in terms of sidelobe suppression compared to the existing methods.

연구 동기 및 목표

• 핵심 신호 처리 응용 분야에서 발생하는 비볼록적이고 랭크 제약이 있는 준정형 프로그래밍(SDPs)을 해결하는 데 도전하는 것.
• 종종 랭크가 낮은 해를 복원하지 못하는 볼록 완화 기법의 한계를 극복하는 것.
• 실제 문제에서 유도되는 대수적 구조(예: 노드 샤피닝 제약)를 활용하여 비볼록 SDP 문제를 볼록 문제로 재구성하는 것.
• 완화 없이도 정확하고 효율적인 랭크 제약이 있는 SDP 문제의 해를 도출할 수 있는 방법을 개발하는 것.
• 빔포밍과 매개변수 추정 문제 간의 쌍대성에 기반하여 신호/노이즈 부분공간 식별을 위한 엄밀한 기준을 설정하는 것.

제안 방법

• 제안된 방법은 랭크 제약이 있는 SDP의 해 공간을 원하는 랭크와 동일한 차수를 갖는 다항식 공간으로 제한한다.
• 이 제한 조건은 비볼록 문제를 랭크가 보장되는 다항식 공간 위의 볼록 최적화 문제로 변환하여, 전체 랭크 해를 보장한다.
• 노드 샤피닝과 같은 제약 조건이 유도하는 대수적 구조를 활용하여 볼록 최적화를 통해 해를 도출한다.
• 풀린 해를 기반으로 간단한 행렬 분해를 적용하여 다항식 공간의 전체 랭크 해에서 원래의 저랭크 해를 복원한다.
• 이 방법은 대수기하학에 기반하여 문제의 내재된 구조를 활용하여 완화를 피하고 랭크 제약을 유지한다.
• 이 방법은 빔포밍 및 위상 재구성 문제에 적용되어 정확한 복원과 향상된 성능을 입증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 랭크가 딱딱한 제약 조건일 경우, 볼록 완화 없이도 랭크 제약이 있는 준정형 프로그래밍(SDPs)을 어떻게 정확하게 해결할 수 있는가?
• RQ2 실제 신호 처리 문제에서 비볼록 SDP 문제를 볼록 문제로 재구성하기 위해 어떤 대수적 구조를 활용할 수 있는가?
• RQ3 빔포밍과 매개변수 추정 문제 간의 쌍대성이 어떻게 새로운 신호/노이즈 부분공간 식별 기준을 도출하는가?
• RQ4 제안된 방법은 기존의 완화 기반 접근 방식에 비해 빔포밍 응용에서 더 뛰어난 부시드로브 억제 성능을 달성할 수 있는가?
• RQ5 다항식 공간은 저랭크 SDP 문제의 정확하고 효율적인 해를 도출하는 데 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 제안된 방법은 랭크 제약이 있는 빔포밍 문제에 대해 정확한 해 복원을 달성하였으며, 시뮬레이션 결과는 기대되는 대수적 구조와 완벽하게 일치함을 보였다.
• 기존의 볼록 완화 기반 빔포밍 방법에 비해 부시드로브 억제 성능이 크게 향상됨을 입증하였다.
• 완화 없이도 저랭크 해를 성공적으로 복원하여 기존의 SDP 완화 기법에서 흔히 발생하는 랭크 부족 문제를 피하였다.
• 빔포밍과 매개변수 추정 문제 간의 쌍대성에 기반하여 신호/노이즈 부분공간 식별을 위한 새로운 엄밀한 기준을 수립하였다.
• 다항식 공간에서 문제를 재구성함으로써 볼록성 덕분에 계산이 효율적이었다.
• 일반화 가능성이 있으며, 일반화된 부시드로브 컨베이어 설계 및 위상 재구성과 같은 유사한 대수적 제약 조건을 갖는 다른 문제들에도 적용 가능하다.