[논문 리뷰] An algebraic approach to the quantization of cosntrained systems: finite dimensional examples

Ranjeet S. Tate|arXiv (Cornell University)|1993. 04. 30.

Relativity and Gravitational Theory참고 문헌 11인용 수 15

한 줄 요약

이 논문은 제약을 가진 시스템에 대한 대수적 양자화 프레임워크를 제안하며, 물리적 연산자의 에르미트성 조건을 통해 물리적 내적을 정의함으로써 제2류 제약의 모호성을 해결하고 비표준 변수의 일관된 양자화를 가능하게 한다. 유한 차원 모델, 특히 상대론적 우주론에 적용되었을 때, 이는 이전의 양자화에서 관찰된 물리적으로 의미 없는 특징들을 제거하고, 해밀토니안이 0인 시스템, 예를 들어 Bianchi I 모델과 같은 시스템에 대해 일관된 양자 이론을 제공한다.

ABSTRACT

From the point of view of canonical quantum gravity, it has become imperative to find a framework for quantization which provides a {\em general} prescription to find the physical inner product, and is flexible enough to accommodate non-canonical variables. In this dissertation I consider an algebraic formulation of the Dirac approach to the quantization of constrained systems, due to A. Ashtekar. The Dirac quantization program is augmented by a general principle to find the inner product on physical states. Essentially, the Hermiticity conditions on physical operators determine this inner product. I also clarify the role in quantum theory of possible algebraic identities between the elementary variables. I use this approach to quantize various finite dimensional systems. Some of these models test the new aspects of the algebraic framework. Others bear qualitative similarities to \gr, and may give some insight into the pitfalls lurking in \qg. In (spatially compact) general relativity, the Hamiltonian is constrained to vanish. I present various approaches one can take to obtain an interpretation of the quantum theory of such ``dynamically constrained'' systems. I apply some of these ideas to the Bianchi I cosmology, and analyze the issue of the initial singularity in quantum theory.

연구 동기 및 목표

• 배경에 의존하지 않는 제약 시스템을 양자화하기 위한 일반적 프레임워크를 개발하는 것. 이는 양자 중력 이론에 필수적이다.
• 시간 변수나 배경 계량이 없는 상황에서 캐논ical 양자 중력 이론에서 물리적 내적을 정의하는 데 발생하는 모호성을 해결하는 것.
• 아슈테카르의 일반 상대성 이론 기술에서 흔히 나타나는 비표준 변수 간의 대수적 항등식을 일관된 양자화 체계 내에서 다루는 것.
• 해밀토니안이 0인 시스템, 예를 들어 일반 상대성 이론과 양자 우주론에서의 시스템을 체계적으로 양자화하는 방법을 제공하는 것.
• Ashtekar-Horowitz 모델과 같은 모델의 이전 양자화에서 나타나는 물리적으로 의미 없는 특징들을 제거하기 위해, 연산자의 에르미트성에서 유도된 일관된 내적을 적용함으로써 이를 해결하는 것.

제안 방법

• 물리적 내적은 물리적 연산자의 에르미트성 조건에서 유도되며, 양자 이론의 유니타리성과 관측 가능성과의 일관성을 보장한다.
• 분포적 상태 공간을 사용하며, 물리적 상태는 제약 연산자 방정식 $\hat{z}_1 \circ \Psi = 0$ 의 해로 정의된다.
• 내적은 정규화 가능성을 보장하기 위해 가중 함수 $\mu = e^{-z_1\bar{z}_1}$ 를 통해 구성된다.
• 제2류 제약은 고전적으로 동치가 아니며, 양자 연산자로 간주되며, 내적을 통한 사영을 통해 작용이 처리되어 일관된 물리적 연산자 대수를 이룬다.
• 이 방법은 $\hat{\bar{z}}_1|_{\text{phy}}$ 가 물리적 상태 위에서 0으로 작용하는 물리적 연산자 대수를 구성할 수 있게 하며, 이는 $\hat{\bar{z}}_1$ 가 물리적 상태를 0으로 만들지 않더라도 내적을 통한 사영을 통해 가능해진다.
• 이 프레임워크는 Bianchi I 우주론과 같은 유한 차원 모델에 적용되어 양자 중력 이론에서의 초기 특이점과 시간의 부재를 분석하는 데 사용된다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 배경 계량이나 시간 변수가 없는 제약 시스템에서 일관된 물리적 내적을 어떻게 정의할 수 있는가?
• RQ2 일반 상대성 이론에서 비표준 변수 간의 대수적 항등식이 양자 이론에서 일관되게 다룰 수 있는가?
• RQ3 왜 이전의 Ashtekar-Horowitz 모델 양자화에서 물리적으로 의미 없는 특징이 나타나며, 이를 해결할 수 있는가?
• RQ4 해밀토니안이 0인 시스템, 예를 들어 공간적으로 유한한 일반 상대성 이론에서의 시스템에 대해 어떻게 양자 이론을 구성할 수 있는가?
• RQ5 해밀토니안 제약이 0인 양자 이론에서 시간과 동역학의 물리적 해석은 무엇인가?

주요 결과

• 이전에 물리적으로 의미 없는 결과를 낳았던 제2류 제약을 가진 모델이, 에르미트성에서 유도된 내적을 통해 일관성 있게 다뤄져 잡음 특징이 제거됨을 보여줌.
• 물리적 상태는 내적 $\langle \Psi | \Phi \rangle = \int \bar{\Psi} \Phi \, e^{-z_1\bar{z}_1} \, dz_1 d\bar{z}_1$ 에 대해 정규화 가능하며, 이는 잘 정의된 양자 이론을 보장한다.
• $\hat{\bar{z}}_1$ 는 물리적 상태를 0으로 만들지 않지만, 물리적 부분공간에 대한 사영 작용을 통해 그 작용이 0이 되며, 이는 제2류 제약의 일관된 처리를 가능하게 한다.
• 물리적 연산자 대수는 사영된 작용 하에 닫혀 있으며, 물리적 상태에서 $[\hat{z}_1, \hat{\bar{z}}_1|_{\text{phy}}] = 0$ 이지만, CCR는 더 이상 유지되지 않는다.
• 이 프레임워크는 이전에 해결되지 않았던 상대론적 우주론, 특히 Bianchi I 모델에 대해 완전한 양자 이론을 성공적으로 구성한다.
• Bianchi I 모델에서 초기 특이점이 양자 이론에서 해소됨을 보여주며, 비특이적인 양자 우주론을 시사한다.