[논문 리뷰] An algebraic approach to the set of intervals

Nicolas Goze, Elisabeth Remm|ArXiv.org|2008. 09. 30.

Mathematics and Applications참고 문헌 3인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 실수 구간을 R² 내의 일반화된 구간으로 확장하여 구간 집합에 노름을 가진 벡터 공간 구조를 도입함으로써 일관된 대수적 프레임워크를 제공한다. 이는 구간 산술 연산을 통합하는 4차원 결합 대수를 구성함으로써 고전적 구간 산술의 모순을 해결한다. 일반화된 나눗셈과 유클리드 나눗셈을 포함한다.

ABSTRACT

This paper is devoted to a new approach of the arithmetic of intervals. We present the set of intervals as a normed vector space. We define also a four-dimensional associative algebra whose product gives the product of intervals in any cases. This approach allows to give a notion of divisibility and in some cases an euclidian division. We introduce differential calculus and give some applications.

연구 동기 및 목표

• 실수 구간을 R² 내의 일반화된 구간으로 확장하여 구간 집합에 노름을 가진 벡터 공간 구조를 수립한다.
• 고전적 구간 산술의 모순을 통합된 대수적 프레임워크를 도입하여 해결한다.
• 모든 구간 끝점의 부호 조합을 일반화하는 4차원 결합 대수를 정의한다.
• 구간 프레임워크 내에서 나눗셈 및 유클리드 나눗셈과 같은 대수적 연산을 가능하게 한다.
• 제안된 대수적 구조를 사용하여 선형 및 비선형 프로그래밍을 구간 값 변수로 확장한다.

제안 방법

• a ≤ b 를 만족하는 점 (a,b) 로서 구간을 R² 내에 표현하여 반평면 P₁ 를 형성하고, R² 로 확장하여 일반화된 구간을 정의한다.
• 반군 (IR, +) 의 대칭화를 통해 군 (R̄IR, +) 을 구성하며, (x,y) ~ (z,t) 라는 동치관계 x+t = y+z 를 만족하는 쌍의 동치류를 사용한다.
• 쌍대 사상 φ: (a,b) ↦ (b,a) 를 정의하여 일반화된 구간에 대한 카우러 산술을 가능하게 한다.
• 기저 원소 e₁, e₂, e₃, e₄ 를 가진 4차원 결합 대수를 도입하여 모든 부호 조합의 구간 곱셈을 모델링한다 (P₁,₁, P₁,₂, P₁,₃).
• 대수적 곱을 사용하여 구간 곱셈을 투영으로 유도함으로써 모든 부호 조합에서 일관성을 확보한다.
• 구간 값 선형 사상의 정의와 함께 수정된 심플렉스 알고리즘 및 구간 기반 피벗 규칙을 적용하여 선형 프로그래밍을 구간 변수로 확장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 구간 산술이 비결합성과 나눗셈에 불리한 성질을 지닌 바에 불구하고, 어떻게 단일 대수적 구조 아래에서 일관되게 통합될 수 있는가?
• RQ2 모든 구간 끝점의 부호 조합을 다루는 4차원 결합 대수를 구성할 수 있는가?
• RQ3 a > b 인 일반화된 구간 (a,b) 는 어떻게 뺄셈과 역원 연산을 지원하는 군 구조를 정의하는 데 사용될 수 있는가?
• RQ4 구간 값 변수와 제약 조건을 가진 선형 프로그래밍 문제를 해결하기 위해 심플렉스 알고리즘에 어떤 수정이 필요한가?
• RQ5 제안된 대수적 프레임워크와 구간 도함수를 사용하여 비선형 프로그래밍을 어떻게 구간 변수에 적응시킬 수 있는가?

주요 결과

• 구간 집합 IR 는 노름을 가진 벡터 공간 R̄IR ≅ R² 에 매장되며, 일반화된 구간을 원소로 하는 덧셈에 대한 군을 이룬다.
• 쌍대 사상 φ: (a,b) ↦ (b,a) 는 카우러 산술을 구성할 수 있게 하여 일관된 뺄셈과 역원 연산을 가능하게 한다.
• 기저 원소 e₁, e₂, e₃, e₄ 를 가진 4차원 결합 대수가 구성되었으며, 이의 곱 구조는 모든 부호 조합의 구간 곱셈을 모델링한다.
• 대수적 곱은 모든 경우, 특히 하나 이상의 구간이 0 을 가로지나는 경우에도 정확한 구간 곱셈으로 투영된다.
• 수정된 심플렉스 알고리즘은 구간 길이 비율에 기반한 피벗 선택을 통해 구간 형태의 우변이 항상 양수를 유지한다.
• 비선형 프로그래밍의 경우, 최적해는 구간 값 매개변수 공간에서 f′(X₀) = 0 을 푸는 것으로 구하고, 고전적 최적성 조건을 확장한다.